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数列知识点总结(优选13篇)

总结
2024-01-23 09:05:50
170

数列知识点总结第1篇

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

初中数学知识点：点的坐标的性质

下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

数列知识点总结第2篇

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列。

（1）递推关系\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=q( q\ne0) 或 \dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=q （q\ne0，n\in N^\ast且n\geq2)。（2）通项公式：a_{n}=a_{1}q^{n-1} （a_1 q\ne0) 推广形式：a_{n}=a_{n}q^{n-m} （3）求和公式：S_{n}=\begin{cases}na_{1},q=1\\ \dfrac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\dfrac{a_{1}-a_nq}{1-q} ,q\ne0且q\ne1\end{cases}

等差数列的性质主要有以下12个方面。

例题一：

等比数列单调性判断方法：

例题一：

等比数列的判定方法主要有以下几种

数列知识点总结第3篇

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列。（1）递推关系： a_{n+1}-a_{n}=d（常数），或 a_{n}-a_{n-1}=d （n\in N^\ast且n\geq2)。（2）通项公式： a_{n}=a_1+（n-1）d 。推广形式： a_{n}=a_m+（n-m）d （当 d\ne0 时， a_n 是关于 n 的一次函数）（3）求和公式： S_{n}=\dfrac{n\left( a_{1}+a_{n}\right) }{2} =na_{1}+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2}d (当 d\ne0 时， S_n 是关于 n 的二次函数，且常数项为零）

例题：

等差数列的性质主要有以下12个方面。

例题一：

例题二

例题一：

例题二

例题三

例题一：

例题二：

例题三

例题四

例题一：

例题二

例题三

例题一

例题二

从本质上讲，研究数列和的最值问题的方法与研究数列通项最值问题的方法是一致的，当 S_n 的表达式已给出或以求出时，最值问题的研究可采用以下方法。

（1）图像分析法：利用基本初等函数的图像及图像的变换来求解。若 a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { m } > 0 , a _ { m + 1 } , a _ { m + 2 } , \ldots < 0 xxx m 项和 S_m 最大；若 a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { m } < 0 , a _ { m + 1 } , a _ { m + 2 } , \ldots > 0 xxx m 项和 S_m 最小．（2）函数性质法：如二次函数、指数函数、反比例函数及复合函数等。由上述性质（10）等差数列前n项和 S_n＝An^2＋Bn ( A,B 是常数 n\in N )，则等差数列可按二次函数求最值．设 a_1>0(或a_1<0) ，且 S_p =S_q 若 p+q 是偶数，则 n = \frac { p + q } { 2 } 时， S_n 最大（最小）；若 p+q 是奇数，则 n = \frac { p + q \pm 1 } { 2 } 时， S_n 最大（最小）。（3）通项分析法：①若 a_n>0 xxx，则 S_n 单调递增， S_1 最小；若 a_n<0 xxx，则 S_n 单调递减， S_1 最大。②若数列S_n 先增后减，则其有最大值，取到最大值的条件是 \begin{cases}S_{n}\geq S_{n-1}\\ S_{n}\geq S_{n+1}\end{cases} （n\geq2），即 \begin{cases}a_{n}\geq 0\\ a_{n+1}\leq 0\end{cases} （n\geq2）。若数列S_n 先减后增，则其有最小值，取到最小值的条件是 \begin{cases}S_{n}\leq S_{n-1}\\ S_{n}\leq S_{n+1}\end{cases}（n\geq2），即 \begin{cases}a_{n}\leq 0\\ a_{n+1}\geq 0\end{cases}（n\geq2）。

例题一

例题二

等差数列的判定方法主要有四种：定义法、通项法、中项法、求和法。解大题只能用定义法，后三者在解小题可以提速。

（1）定义法： a_{n+1}-a_n=d （常数）；（2）通项法：a_{n}=a_1+（n-1）d ；（3）中项法： 2a_{n+1}=a_n+a_{n+2} ；（4）求和法：S_n＝An^2＋Bn ( A,B 是常数 n\in N )

例题一：

例题二

例题三

数列知识点总结第4篇

建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

对于平面内任意一点C，过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)叫做点C的坐标。

一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。

初中数学知识点：因式分解的一般步骤

关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

数列知识点总结第5篇

对于数列\left\{ a_{n}\right\} ，如果存在一个常数 T \left( T \in N ^ { + } \right), 使得对任意的正整数 n>n_0 恒有a _ { n + T } = a _ { n } 成立，则称数列\left\{ a_{n}\right\} 是从第 n_0 项起的周期为 T 的周期数列。若 n _ { 0 } = 1 ，则称数列\left\{ a_{n}\right\} 为纯周期数列，若 n _ { 0 } \geq 2 ，则称数列\left\{ a_{n}\right\} 为混周期数列， T 的最小值称为最小正周期，简称周期.

（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；

（3）如果 T 是数列 \left\{ A_{n}\right\} 的周期，则对于任意的 k\in N^* ， kT 也是数列\left\{ A_{n}\right\} 的周期；

（4）如果T是数列\left\{ A_{n}\right\} 的最小正周期，M是数列\left\{ A_{n}\right\} 的任一周期，则必有 T 整除 M ，即 M=kT，k\in N^* ；

（5）已知数列\left\{ A_{n}\right\} 满足 A_{n+t}=A_n （ t 为常数）， S_n、T_n 分别为\left\{ A_{n}\right\} 的前 n 项的和与积，若 n=qt+r,0≤r ， q,r 为正整数，则 S_n=qS_t+S_r ， T_n=T_t^qT_r ；

（1） a _ { n } + a _ { n - 1 } = s \Rightarrow T = 2

（2） a _ { n } a _ { n - 1 } = s \Rightarrow T = 2

（3） a _ { n + 1 } = \frac { 1 - a _ { n } } { 1 + a _ { n } } \Rightarrow T = 2

特别地， a _ { n + 1 } = \frac { x a _ { n } + y } { k a _ { n } + b } , x = b \Rightarrow T = 2

（4） a _ { n } + a _ { n - 1 } + a _ { n - 2 } = s \Rightarrow T = 3

（5） a _ { n } \cdot a _ { n - 1 } \cdot a _ { n - 2 } = s \Rightarrow T = 3

（6） a _ { n + 1 } = - \frac { 1 } { 1 + a _ { n } } \Rightarrow T = 3

（7） a _ { n + 1 } = 1 - \frac { 1 } { a _ { n } } \Rightarrow T = 3

（8） a _ { n + 1 } = \frac { 1 + a _ { n } } { 1 - a _ { n } } \Rightarrow T = 4

（9） a _ { n + 1 } = \frac { 1 - a _ { n } } { 1 + a _ { n } } \Rightarrow T = 2

（10） a _ { n + 1 } = \frac { a _ { n } - 1 } { a _ { n } + 1 } \Rightarrow T = 4

（11） a _ { n + 2 } = a _ { n + 1 } - a _ { n } \Rightarrow T = 6

（12） a _ { n } = \frac { \sqrt { 3 } a _ { n - 1 } + 1 } { \sqrt { 3 } - a _ { n - 1 } } = \frac { a _ { n - 1 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } { 1 - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } a _ { n } } \Rightarrow T = 6

数列知识点总结第6篇

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

初中数学知识点：因式分解

下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

数列知识点总结第7篇

数列是高考中重要考察的内容，而数列的递推关系是研究数列性质的基础。因此，求数列的通项公式是频频出现在历次高考中。对于广大同学来说，这一块的知识是必须要掌握的，高考中这一块的考题也要尽可能的拿满分。

在分享几类【数列求通项】的方法前，请允许笔者赘述数列的通项公式以及递推公式的概念。

求数列通项的方法主要有：公式法、迭代法、构造法、不动点法、特征根法等。

下面我们来介绍一下五种常用的方法：

例一：

迭代思想源于等差和等比数列求通项问题，其本质是差分（商分）思想。

例一（累加法）：

例二（累乘法）：

例一：

例题一

例题二

例一：

例二：

例三：

例1：

例2：

不动点法求数列通项，这篇文章会写的无比详实，看官可移步前往。

上文待定系数法已经用到了不动点法，下文主要补充求分式递推数列的方法。

先补充关于不动点的概念：

再来看看求分式递推数列的方法：

1.已知a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d}（其中 c\ne0，ad-bc\ne0 ），求通项 a_n 。

例题1：

例题2：

例题3（担心有小童鞋看不清楚又补了一道）：

a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}+P}{2\cdot a_{n}+Q}，其中 n\in\mathbb{N}^{*} ， P,Q 为常数

证明：

设特征根为 \alpha，\beta ，则 \alpha+\beta=p，\alpha\beta=-q .

所以 x_{n+2}-\alpha x_{n+1} = px_{n+1}+qx_n-\alpha x_{n+1} = (p-\alpha)x_{n+1}+qx_n = \beta x_{n+1}-\alpha\beta x_n =\beta( x_{n+1}-\alpha x_n）.

故 \left\{ x_{n+1}-\alpha x_{n}\right\} 是以 \beta 为公比， x_{2}-\alpha x_{1} (\ne0) 为首项的等比数列.

从而 x_{n+1}-\alpha x_n = (x_{2}-\alpha x_{1}) \beta^{n-1} .

所以 x_{n}=\alpha x_{n-1}+（x_{2}-\alpha x_{1}）\beta^{n-2} .

（1）当 \alpha\ne\beta ，其通项公式为 x_n=A\alpha^{n}+B\beta^{n} ，其中 A=\dfrac{x_{2}-\beta x_{1}}{\left( \alpha -\beta \right) \alpha } ， B=\dfrac{x_{2}-\alpha x_{1}}{\left( \alpha -\beta \right) \beta } ;

(2)当 \alpha=\beta ，其通项公式为 x_n=[A\alpha+B(n-1)]a^{n-1} ,其中 A=\dfrac{x_{1}}{\alpha } ， B=\dfrac{x_{2}-\alpha x_{1}}{\alpha } .

例题1：

例题2：

（1）形如 A S _ { n } + B a _ { n } + C = 0 (Sn是数列前n项和)的递推数列通常利用公式 S _ { n } = a _ { n } - a _ { n - 1 } ( n \geq 2 ) 消和Sn或消项an, 从而化成型如前面的递推数列。

例一：

（3）奇偶型数列处理方式：

若 a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( n ) , } & { n=2k-1 } \\ { g ( n ) , } & { n=2k } \end{array} \right.,k\in N^* 则 a _ { n } = \frac { f ( n ) + \mathrm { g } ( n ) } { 2 } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \frac { f ( n ) - \mathrm { g } ( n ) } { 2 } (合二为一)

（4）其它类型的递推数列可根据不同的题采取不同的方法处理,比如归纳,猜想,再用数学归纳法证明等等。

例一：

数列知识点总结第8篇

①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

数列知识点总结第9篇

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合

三个规定：

①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

②单位长度的规定;一般情况，横轴、纵轴单位长度相同;实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

数列知识点总结第10篇

①用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，……

简记为{an}，

项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence)，

项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。

数列的各项都是正数的为正项数列;

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列xxx增数列;如：1，2，3，4，5，6，7;

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列xxx减数列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;

各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);

各项相等的数列叫做常数列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。

通项公式：数列的第N项an与项的`序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。

递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。

如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n)。

并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，，，，…它没有通项公式。

数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：

1、集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。

2、集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。

知识拓展：函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系

下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

数列知识点总结第11篇

对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。

一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。

初中数学知识点：因式分解的一般步骤

关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

数列知识点总结第12篇

情形1 （将和拆开）要证明 f(n)<\sum_{i=1}^na_i （或 f(n)>\sum_{i=1}^na_i ），可构造数列 \{b_n\}：

b_1=f(1) ，b_n=f(n)-f(n-1)(n\geq2) ，则 \sum_{i=1}^nb_n=f(n)

只需证明对任意 i\in N^+ ， b_i （或 b_i>a_i ）即可。

例题一：

推广该方法充分体现了竞赛中“局部不等式”的思想，通过构造多个不等式（形如上述方法中的 b_i ），再叠加、变形，达到证明不等式的效果。

例题一：

例题二：

情形2 （将积拆开）要证明 f(n)<\prod_{i=1}^na_i （或 f(n)>\prod_{i=1}^na_i ），可构造数列 \{b_n\}：

b_1=f(1) ，b_n=\frac{f(n)}{f(n-1)}(n\geq2) ，则 \prod_{i=1}^nb_n=f(n)

只需证明对任意 i\in N^+ ， b_i （或 b_i>a_i ）即可。

例题一：

推广 “将积拆开”的方法其实与上面“将和拆开”的方法一样，只是将加法改为乘法。

在学习中也应该有这种类比的思想，而不只是单纯背下这种方法，在考试的时候才不会陷入“思维定式”当中。

清楚这种方法的本质其实是“局部不等式”，就能做到“以不变应万变”。

例题一：

情形3 （综合拆项）在经过了“将和拆开”或“将积拆开”的过程之后，需要证明 b_i （或 b_i>a_i ），但若证明过程较难，可再考虑将 a_i 和 b_i 表示为多项的和（或积）。

情形1 （ a_n=\frac{1}{n} 型）对于数列 a_n=\frac{1}{n} ，可使用如下恒等式：

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}

情形2 （a_n=\frac{1}{n^2} 型）对于数列 a_n=\frac{1}{n^2} ，可采取以下放缩方式：

\frac{1}{i^2}<\frac{1}{i^2-i}=\frac{1}{i(i-1)}=\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}(i\geq2)

\frac{1}{i^2}<\frac{1}{i^2-1}=\frac{1}{(i+1)(i-1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+1})

\frac{1}{i^2}<\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}=\frac{4}{(2i-1)(2i+1)}=2(\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i+1})

例题一：

推广或直接由恒等式 \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i^2}=\frac{\pi^2}{6} ，知 \sum_{i=1}^n\frac{1}{i^2}<\frac{\pi^2}{6}=...

情形3 （ a_n=\frac{1}{n^k} ）对于一些数列 a_n=\frac{1}{n^k} ，可采取以下放缩方式：

\frac{1}{i^3}<\frac{1}{i^3-i}=\frac{1}{i(i-1)(i+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{i(i-1)}-\frac{1}{i(i+1)})(i\geq2)

\frac{1}{i^\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt i}<\frac{1}{i\sqrt{i-1}}=\frac{1}{\sqrt i\sqrt i\sqrt {i-1}}=\frac{1}{\sqrt i}(\frac{1}{\sqrt {i-1}}-\frac{1}{\sqrt i})\frac{1}{\sqrt i - \sqrt{i-1}}

=\frac{1}{\sqrt i}(\frac{1}{\sqrt{i-1}}-\frac{1}{\sqrt i})(\sqrt i+\sqrt {i-1})<2(\frac{1}{\sqrt{i-1}}-\frac{1}{\sqrt i})

同理，有反向放缩 \frac{1}{i^\frac{3}{2}}>2(\frac{1}{\sqrt i}-\frac{1}{\sqrt{i+1}})

\frac{1}{\sqrt i}=\frac{2}{2\sqrt i}<\frac{2}{\sqrt i +\sqrt {i-1}}=2(\sqrt i-\sqrt{i-1})

同理，有反向放缩 \frac{1}{\sqrt i}>2(\sqrt{i+1}-\sqrt i)

例题一：

例题二：

情形4 （迭代型）若数列 \{a_n\} 满足： a_{n+1}=f(a_n) ，则可通过对该递推公式进行适当的变形，使其变为能裂项的形式。

例题一：

例题二

3、xxx不等式及其推广

xxx不等式 对任意实数 x>-1 ，有 (1+x)^n>1+nx(n\in N^+)

xxx不等式推广 对任意实数 x_i>-1 ，有 \prod_{i=1}^n(1+x_i)>1+\sum_{i=1}^nx_i