导数放缩法技巧全总结(共6篇)

导数放缩法技巧全总结 第1篇

而考虑到单调递减，我们知道：

这就完成了证明。

运用③可以非常简便地解答一开始的问题：

因为：

运用这样的技巧可以显著地简化计算，实际上很多指数对数问题拥有切线不等式的背景，毕竟，在一般的分析学中我们也是像这样去估计它们的。

导数放缩法技巧全总结 第2篇

建议先自行尝试解答这个问题，如果直接对它求导并计算极小值点，代入验证的话，应该会遇到如下问题：

    ?

我们有理由猜想你很难通过计算数值来说明这个不等号成立，虽然它的确是对的。一个有效的补救方法是注意到  ，然后构造如下函数 ：

求导容易发现这个函数是单调递增的，在x=2的时候它大于0，而 比 2 要大一点，故而 ，这说明 _ ? _ 式的确是对的，从而完成了证明。

接下来介绍我们的切线方法。它由一系列不等式构成，发现这些不等式的灵感来是切线。

导数放缩法技巧全总结 第3篇

有些情况下处理双变量问题或其它类型时也要考虑用某些函数的单调性进行放缩

此类题目较少，但往往具有一定的思维难度

这道题目就要用到y=x-sinx的单调性进行放缩

（如有更好的办法敬请提出！）

得到放缩式后就要将已知向未知转化

在该题过程中还用到了对数均值不等式进行放缩

不论是从技巧性还是从套路性来说都可以算是一道好题

此外，对于此类问题采用分析法“执果索因”往往可以降低部分构造上的难度

使用分析法可以将最难想的一步构造放缩放在最后

大大降低了思维难度

本文到此就结束了

如果有任何建议/纠错敬请提出！

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导数放缩法技巧全总结 第4篇

在很多资料中泰勒展开式往往被神化成至高无上的“高级技巧”

但它对高中生来说实际上不过是几个稍微复杂的放缩式罢了

再深入的内容都是到大学之后的后话

这里只介绍较为常见的几个式子 如有兴趣请自行探索

用泰勒展开放缩和使用其他的放缩式一样

在这里随便拿出一道20年八省联考的改编题演示一下

泰勒展开在考场上现证不太明智

不是特别推荐使用

泰勒展开不仅可以直接用来估值

利用泰勒展开推出的一个对数估值公式也是极其好用

这个式子可以说是高中范围内最好用的对数估值式了

而且有很强的规律性，方便记忆（不像高阶的xxx逼近那么膈应人）

像这种简单的估值问题，可以直接忽略前几问的明示暗示

直接掏出我们的公式硬估（别忘记证明就没事）

此处为了缩小范围还构建了一个上界

可以一起记下来以备不时之需

导数放缩法技巧全总结 第5篇

        高中场合下均值不等式指以下放缩：

一般场合下，则指以下不等式：

        在一些场合当中上述手段可以有效简化计算，如跳过求导直接得到极值与极值点相关信息，从而带来时间上的收益。一般来说它可以很好地用在多项式分式以及类似问题中。接下来我们简单介绍均值不等式在 2020 年北京卷导数问题中的一个应用。

经过简单的计算可以发现：

解決本题的任务即在于求该函数极致，有如下几种手法：

其一，是直接对 t 求导，画出表格分析单调性，比较各个极值， 这是最朴素的暴力计算；

（ 注意到这个导数在符号上等同于一个二次函数，也并不复杂 ）

其二，是发现题目中的对称性，即 S 是一个偶函数，所以可以只考虑 t 为正数的情形，，得到新的目标函数：

这样你得到的导数应该是：

它在符号上仍然等同于一个二次函数，这里的求导会比方添更加简便一些。

我想在这里稍作停留，并建议你，在上述两次求导中直接对分式求导，而不是先把所有的括号打开，变成一个个单独的幂函数之和再分别求导再求和，因为这可能会对你后续的因式分解造成一些困难。

其三，是运用我们开篇提到的均值不等式，我们会看到它与前两种方法的本质性不同。

当  时我们取到这个等号

这将是我们的全部过程，而没有画表格和单调性分析。一直以来，我们求导数，先得到单调性，再发现可能的极值点，再逐一比较函数值来得到最值。现在我们先用不等式确定一个下界，再用等号成立条件说明这的确是一个最值。

如果想要使用这个方法，需要注意的是，将  变为  来使用均值不等式，是为了让分子分母中的 t 之次数可以消掉。并且它依靠于 S 关于 t 的对称性，因为在这里，我们需要 t 是正数。

当然，如果需要，4元均值不等式的证明足够简单，因为

它只是连用两次均值不等式而已。

有的时候你可能会想要使用3元形式，它也是容易理解的，因为

其他元数的也完全一样，以后当你遇到可以用这些工具解决的问题时，可以用它来简化计算（如果是解答题必须要先证明），也可以把它当作一种检查的手段。毕竟，他的计算量远远小于求导，将带来很低的计算错误率。

导数放缩法技巧全总结 第6篇

各位相比对对数均值不等式都不陌生

各种极值点偏移问题中常见它的身影

但其实一般的双变量问题也可以考虑用对数均值不等式进行放缩

在考试时直接证明1或2式即可完成对数均值不等式的左侧或右侧证明

下面展示它在一道普通的双变量问题中的应用

首先要想办法得到所有我们能够得到的条件

有了条件之后就要想办法用

对均虽然有时不能一步到位

但却能起到桥梁的作用