线性代数知识点总结(汇总15篇)

线性代数知识点总结 第1篇

行列式

一、行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

二、重要行列式

1、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

2、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

3、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

4、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

★5、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

三、按行（列）展开

1、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

四、克莱姆法则

1、克莱姆法则：

（1）非xxx线性方程组的'系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非xxx线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

（3）若xxx线性方程组的系数行列式不为0，则xxx线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

一、矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

二、矩阵的逆运算

1、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

三、矩阵的初等变换

1、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

★四、矩阵的秩

1、秩的定义：非零子式的最高阶数

（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

（2）r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

2、秩的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数

五、伴随矩阵

六、分块矩阵

1、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

2、分块矩阵求逆：

一、向量的概念及运算

1、长度定义：||α||=

二、线性组合和线性表示

1、线性表示的充要条件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

(1)←→非xxx线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）

2、线性表示的充分条件：

若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

3、线性表示的求法：（大题第二步）

设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）

行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0

三、线性相关和线性无关

1、线性相关注意事项：

（1）α线性相关←→α=0

（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例

2、线性相关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性相关

（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；

（2）←→xxx方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数

3、线性相关的充分条件：

（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

（4）以少表多，多必相关

★推论：n+1个xxx向量一定线性相关

4、线性无关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性无关

（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；

（2）←→xxx方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特别地，n个xxx向量α1，α2，…，αn线性无关

←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆

5、线性无关的充分条件：

（1）整体无关，部分无关

（2）低维无关，高维无关

（3）正交的非零向量组线性无关

（4）不同特征值的特征向量无关

6、线性相关、线性无关判定

（1）定义法

★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

四、极大线性无关组与向量组的秩

1、极大线性无关组不唯一

2、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

★注:

向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

★3、极大线性无关组的求法

（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法

（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵

则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

五、Schmidt正交化

1、Schmidt正交化

设α1，α2，α3线性无关

（1）正交化

令β1=α1

（2）单位化

线性方程组

一、解的判定与性质

1、xxx方程组：

（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）

（2）有非零解←→r（A）＜n

2、非xxx方程组：

（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n

3、解的性质：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解

二、基础解系

★1、重要结论：（证明也很重要）

设A是m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O

（1）B的列向量均为方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n

2、总结：基础解系的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解

（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型

自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

三、解的结构（通解）

1、xxx线性方程组的通解（所有解）

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，

则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为xxx数）

2、非xxx线性方程组的通解

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，

则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为xxx数）

特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量

1、特征值、特征向量的定义：

设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义：

|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。

|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以写为|A-λE|=0

3、重要结论：

（1）若α为xxx方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结：特征值与特征向量的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑

（2）A为数字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)

（2）解xxx方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）

二、相似矩阵

1、相似矩阵的定义：

设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B

2、相似矩阵的性质

（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似

（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）

三、矩阵的相似对角化

1、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=

称A可相似对角化。

2、相似对角化的充要条件

（1）A有n个线性无关的特征向量

（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

3、相似对角化的充分条件：

（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）

（2）A为实对称矩阵

4、重要结论：

（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数

（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数

四、实对称矩阵

1、性质

（1）特征值全为实数

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

二次型

一、二次型及其标准形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩阵形式（常用）

2、标准形：

如果二次型只含平方项，这样的二次型称为标准形（对角线）

3、二次型化为标准形的方法：

（1）配方法：

★（2）正交变换法：

二、惯性定理及规范形

1、定义：

正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

2、惯性定理：

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）

三、合同矩阵

1、定义：

A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

△2、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数

（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

四、正定二次型与正定矩阵

1、正定的定义

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

2、n元二次型xTAx正定充要条件：

（1）A的正惯性指数为n

（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）

3、总结：二次型正定判定（大题）

（1）A为数字：顺序主子式均大于0

（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定

4、重要结论：

（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定

线性代数知识点总结 第2篇

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩阵形式（常用）： Q\left( x \right)=x^TAx

2、标准形：如果二次型只含平方项，即 f(x_1,x_2,...,x_n)=d_1x_{1}^{2} +d_2x_{2}^{2}+,...,+d_nx_{n}^{2} 这样的二次型称为标准形（对角线）；

3、二次型化为标准形的方法：

（1）配方法： 通过可逆线性变换 x=Cy\kern{6pt}(C 可逆) ，将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

（2）正交变换法：通过正交变换 x=Qy ，将二次型化为标准形 λ_1y_{12} +λ_2y_{22} +,...,+λ_ny_{n2} ，其中， λ_1，λ_2,...,λ_n 是 A 的 n 个特征值， Q 为 A 的正交矩阵；注：正交矩阵 Q 不唯一， γ_i 与 λ_{i} 对应即可。

4、定义：

正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

规范型：规范型中系数1的个数等于正特征值的个数 (或二次型正惯性指数)，规范型中系数-1的个数等于负特征值的个数 (或二次型负惯性指数)。不考虑+1， -1 顺序的情况下，规范型是唯一的；

5、惯性定理： 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：

（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一；

（2） p =正特征值的个数， q =负特征值的个数， p+q =非零特征值的个数 =r(A) ；

6、定义： A、B 均为 n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 C ，使得 B=C^T AC ，称 A 与 B 合同；

7、n 阶实对称矩阵 A、B 的关系

（1）A,B 相似 (B=P^{-1}AP)\leftrightarrow 相同的特征值

（2）A,B 合同 (B=C^TAC) \leftrightarrow 相同的正负惯性指数\leftrightarrow相同的正负特征值的个 数

（3） A,B等价（B=PAQ）\leftrightarrow r(A)=r(B)

注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价；

8、正定的定义：二次型 x^TAx ，如果任意 x≠0 ，恒有 x ^T Ax＞0 ，则称二次型正定，并称实对称矩阵 A 是正定矩阵；

9、 n 元二次型 x^TAx 正定充要条件：

（1）A 的正惯性指数为 n ；

（2）A 与 E 合同，即存在可逆矩阵 C ，使得 A=C^TC 或 C^T AC=E ；

（3）A 的特征值均大于 0 ；

（4）A 的顺序主子式均大于 0（ k 阶顺序主子式为前 k 行前 k 列的行列式）；

10、 n 元二次型 x^T Ax 正定必要条件：

（1） a_{ii}＞0

（2） |A| ＞0

11、重要结论：

（1）若 A 是正定矩阵，则 kA（k＞0）,A^ k,A^ T，A^{ -1},A^* 正定

（2）若 A,B 均为正定矩阵，则 A+B 正定

线性代数知识点总结 第3篇

( A , E ) − > ( E , A − 1 ) (A,E)->(E,A^{-1}) (A,E)−>(E,A−1)

初等列变换也是同理

在矩阵A，B，xxx可逆的前提下：

( A , B ) − 初等行变换 − > ( E , A − 1 B ) (A,B)-^{初等行变换}->(E,A^{-1}B) (A,B)−初等行变换−>(E,A−1B)

初等列变换也是同理

线性代数知识点总结 第4篇

1、特征值、特征向量的定义： 设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数 \lambda 及非零列向量 \alpha ，使得 Aα=λα ，称 α 是矩阵 A 属于特征值 λ 的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义： | λE-A| 称为矩阵 A 的特征多项式（ λ 的 n 次多项式）。 | λE-A |=0 称为矩阵 A 的特征方程（ λ 的 n 次方程）。 注:特征方程可以写为 |A- λE|=0 ；

注：特征方程可以写为 |A- λE|=0

3、重要结论：

（1）若 \alpha 为xxx方程 Ax=0 的非零解，则 Aα=0·α ，即 α 为矩阵 A 特征值 λ=0 的特征向量；

（2） A 的各行元素和为 k ，则 (1,1,...,1)^T 为特征值为 k 的特征向量；

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素；

4、特征值与特征向量的求法

（1）A 为抽象的：由定义或性质求解；

（2）A 为数字的：由特征方程法求解；

5、特征方程法

（1）解特征方程 |A- λE|=0 ，得矩阵 A 的 n 个特征值 λ_{1},λ_{2},...,λ_n ；注： n 次方程必须有 n 个根（可有多重根，写作 λ1=λ2=, ...,=λs=实数 ，不能省略）；

（2）解xxx方程 (λ_{i}E-A)=0 ，得属于特征值 λ_{i} 的线性无关的特征向量，即其基础解系（共 n-r(\lambda_{i}E-A) 个解）；

6、性质

（1）不同特征值的特征向量线性无关；

（2） k 重特征值最多 k 个线性无关的特征向量： 1≤n-r(λ_{i}E-A)≤k_{i} ；

（3）设 A 的特征值为 λ_1,λ_2,...,λ_n ，则 \left| A \right|=\Pi\lambda_{i},\kern{4pt} \Sigma\lambda_{i}=\Sigma a_{ii}=tr(A) ；

（4）当 r(A)=1 ，即 A=αβ^T ，其中 α,β 均为 n xxx零列向量，则 A 的特征值为 \lambda_{1}=\Sigma a_{ii}=\alpha\beta^T=\beta^T\alpha,\kern{4pt}\lambda_2=,...,=\lambda_n=0 ；

7、相似矩阵的定义： 设 A、B 均为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 P 使得 B=P^{-1}AP ，称 A 与 B 相似，记作 A\sim B ；

8、相似矩阵的性质：

（1）若 A 与 B 相似，则 f(A) 与 f(B) 相似；

（2）若 A 与 B 相似，B 与 C 相似，则 A 与 C 相似；

（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）；

（4）若 A 与 B 相似，则 AB 与 BA 相似， A^T 与 B^T 相似， A^{ -1} 与 B^{ -1} 相似， A^* 与 B^* 也相似；

9、相似对角化定义：

如果 A 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 P ，使得

称 A 可相似对角化。

注： Aα_i=λ_iα_i（α_i≠0，由于 P 可逆） ，故 P 的每一列均为矩阵 A 的特征值 λ_i 的特征向量；

10、相似对角化的充要条件

（1）A 有 n 个线性无关的特征向量；

（2）A 的 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量；

11、相似对角化的充分条件：

（1）A 有 n 个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）；

（2）A 为实对称矩阵；

12、重要结论：

（1）若 A 可相似对角化，则 r(A) 为非零特征值的个数， n-r(A) 为零特征值 的个数；

（2）若 A 不可相似对角化， r(A) 不一定为非零特征值的个数；

13、性质

（1）特征值全为实数；

（2）不同特征值的特征向量正交；

（3）A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 P 使得 P^{-1}AP=Λ ；

（4）A 可正交相似对角化，即存在正交矩阵 Q ，使得 Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ ；

线性代数知识点总结 第5篇

对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理，含参数的方程组是考查的重点，对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如2010年第20题(数学二为22题)，已知三元非xxx线性方程组存在2个不同的解，求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在_AX=b存在2个不同的解_这句话中。由此可以得到xxx方程组有非0解，系数矩阵降秩，行列式为0，可求得矩阵中的参数;非xxx方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非xxx方程组就变得非常简单了。

线性代数知识点总结 第6篇

定义1： A与B是n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B

相似矩阵具有对称性，传递性，反身性

两矩阵相似的特征：

定理3：n阶方阵相似于n阶对角矩阵的充要条件：A有n个线性无关的特征向量

推论：如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 r1 r2 r3 r4 … rn，则A与对角矩阵 相似，并且对角矩阵的对角线元素为 r1 r2 r3 r4 … rn。

n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：对于A的每一个n重特征值，xxx线性方程组（rE-A）x=0 的基础解系中恰含n个向量

线性代数知识点总结 第7篇

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；

（3）AB=〇 不能推出 A=〇 或 B=〇 ;

2、转置的性质：

（1） (A+B)^T =A^T+B^T

（2） (kA)^T=kA^T

（3） (AB)^T =B^TA^T

（4） |A^T| =|A|

（5） (A ^T)^T =A

3、逆的定义：AB=E 或 BA=E 成立，称 A 可逆， B 是 A 的逆矩阵，记为 B=A^{-1} ; 注：A 可逆的充要条件是 |A| ≠0 ;

4、逆的性质：

（1） (kA)^{-1}=\frac{1}{k}·A^{-1} (k≠0)

（2） (AB)^{-1}=B^{-1}·A^{ -1}

（3） |A^{-1}|=|A|^{-1}

（4） (A^{T})^{-1} =(A^{-1})^{T}

（5） (A^{-1})^{-1}=A

5、逆的求法：

（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A 为数字矩阵： (A|E)→初等行变换→(E|A^{-1})

（3）如果 A 是可逆矩阵，则可以通过伴随矩阵求解: A^{-1}=\frac{1}{\left| A \right|}A^{\ast}

6、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数 c ;

（3）一行（列）乘 k 加到另一行（列）;

7、初等矩阵： 单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵 ；

8、初等变换与初等矩阵的性质：

（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵

（2）初等矩阵均为可逆矩阵，会有

E_{ij}^{-1}=E_{ij} \kern{6pt} (i,j 两行互换)\\ E_{i}^{-1}(c)=E_{i}(1/c)\kern{6pt}(第 i 行(列)乘 c)\\ E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)\kern{6pt} (第 i 行乘 k 加到 j)

9、秩的定义： 非零子式的最高阶数；

（1） r(A)=0 意味着所有元素为 0，即 A=〇 ；

（2）r(A_{n×n})=n(满秩)\leftrightarrow|A| ≠0\leftrightarrow A 可逆； r(A_{n×n})＜n\leftrightarrow |A|=0 \leftrightarrow A 不可逆；

（3） r(A)=r（r=1,2,,,n-1)\leftrightarrow r 阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0 ;

10、秩的性质：

（1）A 为 m×n 阶矩阵，则 r\left( A \right)\leq min\left( m,n \right) ;

（2） r\left( A\pm B \right)\leq r\left( A \right)+r\left( B \right) ;

（3） r\left( AB \right)\leq min\{ r(A),r(B)\} ;

（4） r(kA)=r(A)（k≠0） ;

（5） r(A)=r(AC) ( C 是一个可逆矩阵) ；

（6） r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T) ；

（7）设 A 是 m×n 阶矩阵， B 是 n\times s 矩阵， AB=O ，则 r(A)+r(B)≤n ；

11、秩的求法：

（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；

（2）A 为数字矩阵： A\rightarrow初等行变换 →阶梯型 （每行第一个非零元素下面的元素均为 0），则 r(A)=非零行的行数 ；

12、伴随矩阵的性质：

（1） AA^*=A^*A=|A|E \rightarrow A^*=|A|A ^{-1}

（2） (kA)^*=k^{n-1}A^*

（3） (AB)^*=B^*A^*

（4） |A^*|=|A|^{n-1}

（5） (A ^T)^*=(A^*)^T

（6） (A^ {-1})^*=(A^*)^ {-1}=A|A| ^{-1}

（7） (A^*)^*=|A|^{(n-2)}·A

（8） r(A^*)=n(r(A)=n)； r(A^*)=1\kern{6pt}(r(A)=n-1)； r(A^*)=0 \kern{6pt}(r(A)＜n-1)

13、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同；

14、分块矩阵求逆：

线性代数知识点总结 第8篇

同型矩阵才能相加减

对应行对应列的元素相加即可

定义： 设A=(aij)ms， B=(bij)s * n ,则C=(cij)mn=AB

只有当左边矩阵A的行数等于右边矩阵B的列数才能做乘法运算。

相乘后，结果矩阵的行数等于左边矩阵A的行数，列数等于右边矩阵B的列数。

矩阵cij的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B第j列元素相乘后相加。

矩阵乘法与普通乘法运算规则不同

若矩阵满足AB=BA，则A和B是可交换的，仅当A和B可交换时，才满足交换律，结合律等数学公式

线性代数知识点总结 第9篇

二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质，但毕竟这是一类特殊矩阵，判断一个矩阵是否属于这个特殊类，可以使用正定矩阵的几个充要条件，例如二次型矩阵的特征值是否全大于0，顺序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

历年考研数学真题解析线性代数命题特点解析

考研数学是研究生招生入学考试中通过笔试的形式对考生数学功底的考查，从近几年的考研数学历年真题分析结果来看，可以得出一个结论：线性代数的难度在高数和概率统计之间，且大多数的同学认为线性代数试题难度不大，就是计算量稍微偏大点，线代代数的考查是对基本方法的考查，但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。

线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强，这也是它本身的一个难点。这就需要同学们在复习过程中，注意对于知识点间的关联性进行对比着学习，有助于巩固知识点且不易混淆。

总体来说，线性代数主要包括六部分的内容，行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。

线性代数知识点总结 第10篇

解向量的概念

若xxx线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个xxx向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为xxx线性方程组的基础解系

xxx线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。

定理1：如果xxx线性方程组Amn * X=0 的系数矩阵A的秩 r（A）= r < n，则Amn * X=0 的基础解系中有 n-r个解向量

xxx线性方程组的基础解系求解

非xxx线性方程组的基础解系求解

线性代数知识点总结 第11篇

向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。 向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。

这是线性代数前三个内容的命题特点，而行列式的矩阵是整个线性代数的基础，对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请考生朋友们一定要务必掌握，否则的话，对于后面四部分的学习会越学越难，希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习，为后面的考研数学复习打好基础。

前面我们已经分析过，考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强，有些概念较为抽象，这也是大部分考生认为考研数学线性代数不好学，根本找不到复习的头绪，做题时也是一头雾水，不知道怎么分析考虑。

这里，老师要求大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性，理解概率的实质。如：矩阵的秩与向量组的秩之间的关联，矩阵等价与向量组等价的区别，矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是同学们对于上面的问题根本分不清楚，则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过，大家也不要太焦急，希望同学们在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会，学习一定要有心得。

下面我们分析一下后面三部分的内容，线性方程组、特征值与特征向量、二次型的命题特点。

线性方程组，会求两类方程组的解。线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽，很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于xxx线性方程组，我们需要掌握基础解系的概念，以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非xxx线性方程组的解的情况，掌握其求解的方法。此外，考生还需要掌握非xxx线性方程组与其对应的xxx线性方程组的解结构之间的关系。

特征值与特征向量，掌握矩阵对角化的方法。这一部分是理论性较强的，理解特征值与特征向量的定义及性质，矩阵相似的定义，矩阵对角化的定义。同学们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化，若可以的话，需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型，已知矩阵的特征值与特征向量，反求矩阵A。

二次型，理解二次型标准化的过程，掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题，一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。

虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题，占有34分的分值，但是这34分也不是很轻松就能拿下的。同学们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻，做考研数学题过程中多分析总结。

2016考研数学概率解题9大常用思路

1、如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。

2、若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式

3、xxx事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。

4、若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0，1)来处理有关问题。

5、求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//xxx的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。

6、欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。

7、涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。即令

8、凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

9、若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。

2016考研数学线性代数知识点整理

线性代数知识点总结 第12篇

定义1：设A=（aij）nn为n阶实方阵，如果存在某个非零 r 和xxxxxx零列向量 p 满足： Ap=rp，则 r 是A 一个特征值，p是A的属于特征值为r 的一个特征向量

定义2：带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；它的行列式称为A的特征多项式；|rE-A|=0称为A的特征方程

求解特征值与特征向量的方法：

线性代数知识点总结 第13篇

化成上下三角

按行展开

制造行和：如图所示行列式

∣ x a a a x a a a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 a a 1 x a 1 a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 0 0 1 x 0 1 0 x ∣ ( 用第一列乘 − a 加到后两列去，形成下三角求和 ) \left|\begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right|-> (x+2a)\left|\begin{matrix} 1 & a & a \\ 1 & x & a \\ 1 & a & x \end{matrix} \right| -> (x+2a) \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{matrix} \right|(用第一列乘-a加到后两列去，形成下三角求和) ​xaa​axa​aax​​−>(x+2a)​111​axa​aax​​−>(x+2a)​111​0x0​00x​​(用第一列乘−a加到后两列去，形成下三角求和)

加边法：不能改变原行列式的值

范德蒙德行列式：[范德蒙行列式_百度百科 ()]

反对称行列式

对称行列式

线性代数知识点总结 第14篇

定义：设 xxx向量组 a1，a2，a3 ，B

若k1，k2，k3为任意一组常数，则称 k1a1+k2a2+k3a3…+k4a4为向量组 a1+a2+a3的一个线性组合

若k1，k2，k3为任意一组常数，使得 B=k1a1+k2a2+k3a3+…knan成立，则称B可由向· 量组线性表示

向量B是否可由a1,a2,a3,an线性表示的方法：判断线性方程组k1a1+k2a2+knan是否有解

简单来说：

判断一个向量组的线性关系的方法：

线性代数知识点总结 第15篇

矩阵是解决线性方程组的解的有力工具，矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容，熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容，利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成，每一个元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!

通过几十年考研考试命题，命题老师对题目的形式在不断地完善，这也要求大家深入理解概念，灵活处理理论之间的关系，能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解，对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解，对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握，对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等，都需要在对概念理解的基础上，联系地看问题，及时总结结论。