自动控制原理总结(合集7篇)

自动控制原理总结 第1篇

反馈控制原理： （1）反馈（闭环）控制原理：控制装置对被控对象施加的控制作用，是取自被控量的反馈信号，用来不断修正被控量与输入量之间的偏差，从而实现对被控对象进行控制的任务。 （2）反馈：输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程。 （3）负反馈：反馈的信号是与输入信号相减而使偏差越来越小。反之，则称为正反馈。 反馈控制系统的组成：测量元件、给定环节、比较环节、放大环节、执行环节、控制环节 自动控制系统基本控制方式： ★反馈控制方式：输出量的通过适当检测,又送回输入端与输入量比较参与控制的(反馈)。 ★开环控制方式：控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反(反馈)向联系。 前馈控制:是根据扰动或设定值的变化按补偿原理而工作的控制系统。其特点是:当扰动作用产生,被控变量还未变化以前，根据扰动作用的大小进行控制。以补偿扰动对被控变量的影响。 ★复合控制方式：有反馈，有前馈。

自动控制系统的分类 ●按控制方式：按给定值操纵的开环控制、按干扰补偿的开环控制、按偏差调节的闭环控制、复合控制:闭环反馈为主，开环补偿为辅。 ●按给定值变化规律：恒值系统、随动系统、程序控制系统。 ●按系统性能：线性/非线性系统、连续/离散性系统、定常/时变性系统、确定/不确定系统。 自动控制系统的基本要求 稳定性：是保证控制系统正常工作的先决条件。 快速性：动态性能，有指标。 准确性：稳态(过度结束后的）值应尽量与期望值一致。 常见外作用：

自动控制原理总结 第2篇

对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，而幅值与相位的变化是频率 \omega 的函数。

稳定系统的频率特性等于输出和输入的xxx变换之比

G(\mathrm{j} \omega)=\dfrac{C(\mathrm{j} \omega)}{R(\mathrm{j} \omega)}=\(s)\right|_{s=\mathrm{j} \omega}

幅频特性

A(\omega)=|G(\mathrm{j} \omega)|

相频特性

\varphi(\omega)=\angle[G(\mathrm{j} \omega)]

输入: u_{i}(t)=A \sin \omega t稳态输出: u_{o}(t)=A \cdot A(\omega) \sin [\omega t+\varphi(\omega)]

幅相频率特性曲线

又简称为幅相曲线或极坐标图或 Nyquist 图。以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面。若将频率特性表示为实数和虚数和的形式，则实部为实轴坐标值，虚部为虚轴坐标值。由于幅频特性为 \omega 的偶函数，相频特性为 \omega 的奇函数， \omega 从零变化至 +\infty 和 \omega 从零变化至 -\infty 的幅相曲线关于实轴对称，因此一般只绘制从零变化至 +\infty 的幅相曲线。在系统幅相曲线中，频率 \omega 为参变量，一般用小箭头表示 \omega 增大时幅相曲线的变化方向。

对数频率特性曲线

又称为伯德曲线或伯德图(Bode 图)。对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。

对数频率特性曲线的横坐标按 \lg \omega 分度，单位为弧度/秒 (\mathrm{rad} / s)。

对数幅频曲线的纵坐标按

L(\omega)=20 \lg |G(\mathrm{j} \omega)|=20 \lg A(\omega)

线性分度，单位是分贝 (\mathrm{dB}) 。

对数相频曲线的纵坐标按 \varphi(\omega) 线性分度，单位为度 \left({ }^{\circ}\right) 。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。

对数幅相曲线

又xxx科尔斯曲线或尼科尔斯图。其特点是纵坐标为 L(\omega)，单位为分贝 (\mathrm{dB}) ，横坐标为 \varphi(\omega)，单位为度 \left({ }^{\circ}\right)，均为线性分度，频率 \omega 为参变量。

开环传递函数 G(s)H(s)

开环传递函数的分子和分母多项式的系数皆为实数。根据开环零极点可将分子和分母多项式分解成因式，再将因式分类，即得典型环节。典型环节可分为两大类：一类为最小相位环节，即对应于 s xxx平面的开环零点或极点；另一类为非最小相位环节，即对应于 s 右半平面的开环零点或极点。

开环传递函数的典型环节分解可将开环系统表示为若干个典型环节的串联形式

G(s) H(s)=\prod_{i=1}^{N} G_{i}(s)

设典型环节的频率特性为

G_{i}(\mathrm{j} \omega)=A_{i}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \varphi_{i}(\omega)}

则系统开环频率特性

\displaystyle G(\mathrm{j} \omega) H(\mathrm{j} \omega)=\left[\prod_{i=1}^{N} A_{i}(\omega)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left[\sum_{i=1}^{N} \varphi_{i}(\omega)\right]}

系统开环幅频特性和开环相频特性

\displaystyle A(\omega)=\prod_{i=1}^{N} A_{i}(\omega), \quad \varphi(\omega)=\sum_{i=1}^{N} \varphi_{i}(\omega)

系统开环对数幅频特性

\displaystyle L(\omega)=20 \lg A(\omega)=\sum_{i=1}^{N} 20 \lg A_{i}(\omega)=\sum_{i=1}^{N} L_{i}(\omega)

典型环节的Bode图叠加在一起就可以得到整个频率特性的Bode图，特别是采用对数幅频渐近特性曲线的时候。

二阶环节，会出现谐振峰值

M_{m}=\dfrac{1}{2 \zeta \sqrt{1-\zeta^{2}}} ,\quad \omega_{m}=\omega_{n} \sqrt{1-2 \zeta^{2}} ,\quad \zeta<\dfrac{1}{\sqrt{2}}

解：先去掉 M_{m} 的 dB 单位

\zeta^{2}=\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{1}{2} \sqrt{1-\dfrac{1}{M_{m}^{2}}}

典型环节幅相特性曲线

(1) 极坐标图的起点(0^{+})、终点(+\infty)和渐近线

(2) 极坐标图与实轴和虚轴的交点处的频率

\operatorname{Im}[G(j \omega)]=0 ,\quad \operatorname{Re}[G(j \omega)]=0

奈奎斯特稳定性判据(xxx判据)：利用已知开环传递函数来判定闭环系统的稳定性。

前提条件： \displaystyle \lim_{s \rightarrow \infty} G(s) H(s) 存在

奈奎斯特曲线绘制

s 沿闭合曲线 \Gamma 运动一周，产生闭合曲线 \Gamma_{G H}

首先考虑 \Gamma 上半部分对应的半闭合曲线 \Gamma_{G H}：

(1) 若 G(s) H(s) 无虚轴上极点

(2) 若 G(s) H(s) 有原点极点

\Gamma_{G H} 在 s 在极点附近时，对应曲线为 G\left(\mathrm{j} 0_{+}\right) H\left(\mathrm{j} 0_{+}\right) 点起逆时针作半径无穷大、圆心角为 \nu \times 90^{\circ} 的圆弧

\Gamma 下半部分对应的半闭合曲线，与上半部分对应的半闭合曲线，关于实轴对称。

奈奎斯特稳定判据

设 N 为 \Gamma_{G H} 穿越 -1 点左侧负实轴的次数， N_{+} 表示正穿越的次数和(从上向下穿越)， N_{-} 表示负穿越的次数和(从下向上穿越)。则 \Gamma_{G H} 逆时针包围 -1 点的圈数为

R=2 N=2\left(N_{+}-N_{-}\right)

记开环传递函数的正实部极点数 P 。则 F(s)=1+G(s) H(s) 的零点数，即反馈控制系统正实部极点数为

Z=P-R=P-2 N

当 P \neq R 时， Z \neq 0 ，系统闭环不稳定。

而当半闭合曲线 \Gamma_{G H} 穿过 -1 点时，系统可能临界稳定，Nyquist 稳定判据不可用。

定义增益临界点及截止频率 \omega_{c}

A\left(\omega_{c}\right)=\left|G\left(\mathrm{j} \omega_{c}\right) H\left(\mathrm{j} \omega_{c}\right)\right|=1

定义相角裕度

\gamma=180^{\circ}+\angle\left[G\left(\mathrm{j} \omega_{c}\right) H\left(\mathrm{j} \omega_{c}\right)\right]

其中 \angle\left[G\left(\mathrm{j} \omega_{c}\right) H\left(\mathrm{j} \omega_{c}\right)\right] < 0

对于稳定系统，\gamma > 0

定义相位临界点及穿越频率 \omega_{x}

\varphi\left(\omega_{x}\right)=\angle\left[G\left(\mathrm{j} \omega_{x}\right) H\left(\mathrm{j} \omega_{x}\right)\right]=(2 k+1) \pi ; \quad k=0, \pm 1, \cdots

定义幅值裕度为

h=\dfrac{1}{\left|G\left(\mathrm{j} \omega_{x}\right) H\left(\mathrm{j} \omega_{x}\right)\right|}

对数坐标下，幅值裕度

h(\mathrm{dB})=-20 \lg \left|G\left(\mathrm{j} \omega_{x}\right) H\left(\mathrm{j} \omega_{x}\right)\right| (\mathrm{dB})

对于最小相位系统，以相角裕度 \gamma>0 和幅值裕度 h>1 ( 或 h(\mathrm{~dB})>0 ) 作为系统稳定的充要条件是可靠的。

极坐标图法

Bode图法

自动控制原理总结 第3篇

xxx诺夫稳定性：确定系统的稳定状态，控制系统可以满足数学的条件。在一阶系统中，xxx极点分析的方法去观察稳定性。现代控制理论中常用到的分析系统的方法就是去找系统的V函数，得到最后是不是能够

可观性：状态观测器。系统状态加入不可直接测量，那么就需要通过输出和控制量去估计状态。状态观测器需要达到一个收敛的状态。建立观测器时，实际上是建立一个反馈系统，使得误差等于0。（这里是不是有误差状态量的部分？）

对于可观测性，需要问一个问题：是不是所有系统都是可测的？借鉴可控性的推导，有下面的结论：

实际上看到设计控制器就是去配置特征值的过程。这里的特征值有点像自动控制原理中的极点的概念，决定了系统随时间是收敛的，还是振动的，还是逼近于无穷的。

下面是对于一个控制系统的分析过程，利用配置特征值的方法可以确定比例控制的控制系数u与状态量x之间的关系。

轨迹跟踪的目标是使状态和参考状态的误差保持在0附近。举例，对深空飞行器而言，按照轨迹优化+轨迹跟踪这两个步骤实现控制。参考轨迹是人为设计的，可以是全局最优的，也可以是次优的。然后把跟踪误差保持在0附近，这也有一套控制律，比如LQR轨迹跟踪器。

状态控制按照给定的控制律，在航天器轨迹控制中叫做制导；在姿态控制中好像没见过先设计好姿态运动规律的，都是即时控制。制导律必须全局渐进稳定，适用于高动态的环境，比如空空导弹采用比例导引法。

自动控制原理总结 第4篇

频率特性分为两种，分别是 A(ω) 幅频特性 和 φ(ω) 相频特性 。 对于一个一阶线性定常系统对正弦输入信号 Asinωt 的稳态输出 Ysin(ωt + ψ) ，仍是一个正弦信号，其特点： ①频率与输入信号相同； ②振幅 Y 为输入振幅A的 |G(jω)| 倍； ③相移为 ψ = ∠G(jω)。 振幅 Y 和相移 ψ 都是输入信号频率 ω 的函数，对于确定的 ω 值来说，振幅Y和相移 ψ 都将是常量。 |G(jω)| = Y / A 正弦输出对正弦输入的幅值比—幅频特性 ∠G(jω) = ψ 正弦输出对正弦输入的相移—相频特性 理论上可将频率特性的概念推广的不稳定系统，但是，系统不稳定时，瞬态分量不可能消失，它和稳态分量始终同时存在，所以，不稳定系统的频率特性是观察不到的。

（1）幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。 （2）幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。对数频率特性曲线的横坐标是频率 ω ，并按对数分度，单位是[rad/s] . 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性分度，单位是[dB]，此坐标系称为半对数坐标系。对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性分度 , 单位是 (0) 或（弧度），频率特性G(jω) 的对数幅频特性定义如下 L（ω） = 20lg |G(jω)| 对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。 （3）对数幅相曲线（又xxx柯尔斯曲线）：其特点是纵、横坐标都线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。

（1）比例环节K 比例环节的频率特性是G(jω)=K，幅相曲线如下 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：L(ω) = 20lg |G(jω)| = 20lgK 和 φ(ω) = 0 （2）积分环节 积分环节的对数幅频特性是 L(ω) = -20lgω ，而相频特性是 φ(ω) = -90^o 。直线和零分贝线交于 ω = 1 地方。 （3）微分环节 G(s) = s 和 G(jω) = jω = ω∠ π / 2，L(ω) = 20lgω，而相频特性是 φ(ω) = 90^o 。 （4）惯性环节 （5）一阶微分环节 G(s) = Ts + 1 （6）振荡环节 易知，当 ω = ω_n时，相角为 -90^o，与 ζ 无关 当存在： 实际上，幅频特性在谐振频率处有峰值，峰值大小取决于阻尼比，这一特点也必然反映在对数幅频曲线上。 （7）不稳定环节 系统如果不稳定 , 它的特征方程必定有正实部的根，分别称为不稳定惯性环节和不稳定振荡环。节。 不稳定惯性环节： 很明显 , 不稳定惯性环节和惯性环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线却对称于-90^o 水平线 不稳定振荡环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于 -180^o 线 不稳定一阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于 90^o 线 （8）延迟环节 输出量毫不失真地复现输入量的变化 , 但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节。c(t) = r(t - τ) l(t - τ) 幅相曲线是个圆 , 圆心在原点，半径为 1 ，延迟环节的对数幅频特性恒为 0dB , 对数频率特性曲线如图所示。由图可见， τ 越大，相角迟后越大 。

（1）起点：分子分母保留最低次方 （2）终点：分子分母保留最高次方 （3）若 Re[GH] = 0有解，则与虚轴相交 （4）若 Im[GH] = 0有解，则与实柚相交

（1）化 G(s) 为尾1标准型 （2）顺序列出转折频率 f （3）确定基准线： ①基准点：（ ω = 1，L(1) = 20lgK ） ②斜率：-20vdB/dee （4）叠加作图： ①一阶： 惯性环节 -20 dB 复合微分 +20 dB xxx阶： 振荡环节 -40 dB 复合微分 +40 dB （5）修正：振荡环节中 ζ ∈ （，） （6）检查： ①最右侧 K = -20（n - m）dB ②转折点数 = （惯性 + 一阶微分 + 二阶微分 + 振荡） ③ψ(ω) = -90^o （n - m）

最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的xxx平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。

定性判据：如果在S平面上，S沿奈奎斯特回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转R=P周，则系统是稳定的。 若虚轴上含有开环极点的情况：映射定理要求奈奎斯特回线不能经过F（S）的奇点。用半径 ε 极→ 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到xxxs平面。 根据伯德图判定系统的稳定性：

稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。主要表征 G(jω)H(jω) 轨迹靠近 (-1,j0) 点的程度 几个概念： （1）增益交界频率 ω_c：dB图中曲线与x轴的交点或GH平面中曲线与单位圆交点。（Im（GH）= 0） （2）相位交界频率 ω_g：GH平面中曲线与负实轴交点或相频图中与 -π 的交点。 （3）相位裕量γ：在增益交界频率 ω_c 上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量（γ = π + ψ(ω_c)）。 （4）幅值裕量（增益裕度）K_g：在相位交界频率 ω_g 上，频率特性幅值|G(jω) H(jω)|的倒数。

自动控制原理总结 第5篇

典型输入信号

在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。

通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。

描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。

\sigma \%=\dfrac{c\left(t_{p}\right)-c(\infty)}{c(\infty)} \times 100 \%

若 c\left(t_{p}\right) , 则响应无超调。超调量亦称为最大超调量, 或百分比超调量。

稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

\Phi(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{T s+1}

\Phi(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}

s_{1,2}=\sigma \pm \omega_{d}

单位阶跃响应

考虑 0 \le \zeta<1，当 R(s)=1 / s 时

C(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{s+\zeta \omega_{n}}{\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}}-\dfrac{\zeta \omega_{n}}{\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}}

\begin{aligned}c(t) & =1-\mathrm{e}^{-\zeta \omega_{n} t}\left[\cos \omega_{d} t+\dfrac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} \sin \omega_{d} t\right] \\& =1-\dfrac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} \mathrm{e}^{-\zeta \omega_{n} t} \sin \left(\omega_{d} t+\beta\right), \quad t \geqslant 0\end{aligned}

\beta=\arctan \left(\sqrt{1-\zeta^{2}} / \zeta\right)，或者 \beta=\arccos \zeta，称为阻尼角。

上升时间

t_{r}=\dfrac{\pi-\beta}{\omega_{d}}

峰值时间

t_{p}=\dfrac{\pi}{\omega_{d}}

超调量

\sigma \%=\mathrm{e}^{-\pi \zeta / \sqrt{1-\zeta^{2}}} \times 100 \%

选取误差带 \Delta=

t_{s}=\dfrac{}{\zeta \omega_{n}}

选取误差带 \Delta=

t_{s}=\dfrac{}{\zeta \omega_{n}}

衰减比 n ：同方向过渡过程曲线上的相邻两个波峰之比

n=e^{2 \pi \zeta / \sqrt{1-\zeta^{2}}}

高阶系统动态响应各分量的衰减快慢由系统极点的位置决定，极点在 s 平面xxx部离虚轴越远，相应的分量衰减越快，对系统的影响越小。

各分量所对应的系数取决于系数的零、极点分布。

系统的零、极点共同决定了系统动态响应曲线的形状。对于系数很小（影响很小）的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，此时高阶系统就可用低阶系统来近似估计。

若高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实数部分为其他极点的 1/5 或更小，并且附近又没有零点，则可认为系统的响应主要由该极点（或共轭复数极点）决定，因为这一分量衰减最慢。这种对系统暂态响应起主要作用的极点称为系统的主导极点。

一般情况下，高阶系统具有振荡性，故主导极点通常是共轭复数极点。所以，高阶系统常当作二阶系统来分析，相应的性能指标都可按二阶系统近似估计。

线性系统稳定的充分必要条件是：系统传递函数的极点均位于 s xxx平面

xxx稳定判据

求极点，即求系统特征多项式的零点。设线性系统的特征方程为

D(s)=a_{0} s^{n}+a_{1} s^{n-1}+\cdots+a_{n-1} s+a_{n}=0, \quad a_{0}>0

xxx表

线性系统稳定的充分且必要条件是：xxx表中第一列各值为正。如果xxx表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。

xxx阵列的任意一行元素可以同时乘以或除以一个正数，而不会改变首列元素的符号。

特殊情况：

(1) xxx表中第一列有零元素

(2) xxx阵列有全零行

如果xxx阵列具有全零行，则系统特征方程具有对称于原点的实根或复根

s^{2}, \quad(s+\sigma)(s-\sigma), \quad(s+j \omega)(s-j \omega), \quad\left(s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right)\left(s^{2}-2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right)

如果xxx阵列的第 i 行元素全为零，则根据该行的上一非零行构造如下的辅助多项式

U(s)=\beta_{1} s^{i+1}+\beta_{2} s^{i-1}+\beta_{3} s^{i-3}+\cdots

其中， \beta_{i} 是上一非零行的系数，辅助多项式的阶次为对称特征根的个数。然后，将原xxx阵列表中第 i 行元素替换为辅助多项式 U(s) 关于 s 的导函数的系数，并继续完成xxx阵列表，以获得关于除对称特征根外的其它特征根的信息。

稳定裕量的检验

令 s=z-\sigma_{1} ，即把虚轴左移 \sigma_{1} 。将上式代入系统的特征方程式，得到以 z 为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线 s=-\sigma_{1} )的右边。如果所有根均在新虚轴的左边 (新xxx阵列式首列均为正数)，则称系统具有稳定裕量 \sigma_{1} 。

只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。

误差与稳态误差

E(s)=R(s)-H(s) C(s)

此时，系统在 E(s) 信号作用下产生动作，使输出量趋于希望值。通常，称 E(s) 为误差信号。

误差本身是时间的函数，其时域表达式为

e(t)=\mathscr{L}^{-1}[E(s)]=\mathscr{L}^{-1}\left[\Phi_{e}(s) R(s)\right]

式中，\Phi_{e}(s) 为系统误差传递函数

\Phi_{e}(s)=\dfrac{E(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{1+G(s) H(s)}

误差信号 e(t) 中，包含瞬态分量 e_{t s}(t) 和稳态分量 e_{s s}(t) 两部分。由于系统必须稳定，故当时间趋于无穷时, 必有 e_{t s}(t) 趋于零。因此，控制系统的稳态误差定义为误差信号 e(t) 的稳态分量 e_{s s}(\infty)，常以 e_{s s} 简单标志。

如果有理函数 s E(s) 除在原点处有唯一的极点外，在 s 右半平面及虚轴上解析，即 s E(s) 的极点均位于 s xxx平面(包括坐标原点)，则可根据拉氏变换的终值定理，方便地求出系统的稳态误差

e_{s s}(\infty)=\lim _{s \rightarrow 0} s E(s)=\lim _{s \rightarrow 0} \dfrac{s R(s)}{1+G(s) H(s)}

系统类型

在一般情况下，分子阶次为 m ，分母阶次为 n 的开环传递函数可表示为

G(s) H(s)=\dfrac{K \prod\limits_{i=1}^{m}\left(\tau_{i} s+1\right)}{s^{v} \prod\limits_{j=1}^{n-v}\left(T_{j} s+1\right)}

不同输入下的稳态误差

\begin{aligned}e_{s s}(\infty)&=\lim _{s \rightarrow 0} \dfrac{s R(s)}{1+\dfrac{K \prod\limits_{i=1}^{m}\left(\tau_{i} s+1\right)}{s^{v} \prod\limits_{j=1}^{n-v}\left(T_{j} s+1\right)}} \\&=\lim _{s \rightarrow 0}\dfrac{s^{v+1} R(s)}{K+s^{v}}\end{aligned}

自动控制原理总结 第6篇

（1）根轨迹是指开坏系统某个参数由 0 变化到 ∞ ，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。 （2）开环零点指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。 （3）开环极点指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。 （4）闭环零点指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 （5）闭环极点指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益 K* 均有关。（K* → 0，开闭环极点相同。) （6）根轨迹增益——K*为开环系统根轨迹增益。 闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及m （7）根轨迹法的基本任务由已知的开环零、极点分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。

1)由闭环特征方程得根轨迹方程：1＋G(s)H(s) = 0 → G(s)H(s) = -1 2)将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程。

法则1——根轨迹的分支数:根轨迹在s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同。 法则2——根轨迹对称于实轴:闭环极点若为实数，则位于s平面实轴；若为复数则共辄出现，所以根轨迹对称于实轴。 法则3——根轨迹的起点与终点:根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n 一m)条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。 法则4——实轴上的根轨迹:实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。 法则5——根轨迹的渐近线:渐近线与实轴交点的坐标 而渐近线与实轴正方向的夹角 ψ = （2k + 1）π / （n - m） k依次取0,＋1,一1,+2,一2,…，直到获得n - m个倾角为止。其中，n为开环极点数，m为开环零点数。(ψ_a可由相角方程中 s → ∞ 得到)。 法则6——根轨迹的起始角（从极点p_k）和终止角（到零点z_k）： 法则7——分离点（会合点）坐标d：几条根轨迹在[s]平面上相遇后又分开的点，称为分离点。分离点的坐标d可由下面方程得到： 法则8——根轨迹与虚轴的交点: 法则9——根之和：若 n - m > 2 ，则 注：若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。 带开环零点的二阶系统，若能在复平面上画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。 扩展：参数根轨迹 变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹叫参数根轨迹。将开环传函变形让变化的参数处于开环增益的位置就可以采用绘制常规根轨迹时的法则。

自动控制原理总结 第7篇

采样控制系统

数字控制系统

采样：将连续时间信号转化为离散时间信号，可以出现在系统中的多个地方，用开关符号表示。

\displaystyle e^{*}(t)=e(t) \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k T)=e(t) \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{j} k \omega_{\mathrm{s}} t}

\displaystyle E^{*}(\mathrm{j} \omega)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} E\left(\mathrm{j} \omega-\mathrm{j} k \omega_{\mathrm{s}}\right)

T 为采样周期，\omega_{s}=2 \pi / T 为采样频率。

设 e(t) 是某一个带限信号，在 |\omega|>\omega_{M} 时， E(\mathrm{j} \omega)=0 。如果 \omega_{s}>2 \omega_{M} ，那么 e(t) 就唯一地由其样本 e(n T), n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots 所确定。频率 2 \omega_{M} 一般称为奈奎斯特率。

零阶保持器(ZOH)

\displaystyle G_{h 0}(j \omega)=\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega T}}{\mathrm{j} \omega}=T \frac{\sin \frac{\omega T}{2}}{\frac{\omega T}{2}} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{\omega T}{2}}

z 变换又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。

采样拉氏变换

\displaystyle E^{*}(s)=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \mathrm{e}^{-n s T}

记变量 z=\mathrm{e}^{s T}

\displaystyle E(z)=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) z^{-n}

E(z)=\mathscr{Z}[e^{*}(t)]

单边Z变换常用的性质

实数位移定理

\mathscr{Z}\left[f^{*}\left(t-k T\right)\right]=z^{-k} F(z)

\mathscr{Z}[f^{*}(t+k T)]=z^{k} F(z)-z^{k} F(0)-z^{k-1} F(T)-\cdots-z F\left[(k-1) T\right]

终值定理

如果 F(z) 的极点位于单位圆内 (单位圆上最多在 z=1 处有一阶极点)，则有

\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} f\left(k T_{s}\right)=\lim_{z \rightarrow 1}\left[\left(1-z^{-1}\right) F(z)\right]

初值定理

若 \lim\limits_{z \rightarrow \infty} F(\mathrm{z}) 存在，则

\displaystyle \lim_{k \rightarrow 0} f\left(k T_{s}\right)=\lim_{z \rightarrow \infty} F(z)

脉冲传递函数定义为零初始条件下系统输出采样信号的 Z 变换与输入采样信号的 Z 变换之比。也可以定义为系统单位脉冲响应序列的 Z 变换。

脉冲传递函数的求法要受采样开关数量与位置的影响。

\displaystyle E^{*}(s)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} E\left(s-\mathrm{j} k \omega_{\mathrm{s}}\right)

\left[G(s) E^{*}(s)\right]^{*}=G^{*}(s) E^{*}(s)

开环离散系统结构图

开环脉冲传递函数

G(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)}

实际系统的输出往往是连续信号 y(t) ，而非离散信号 y^{*}(t) ，虚拟采样开关实际上并不存在，只是表明脉冲传递函数作为离散系统的数学模型。

环节串联形式

( a ) G(z)=G_{1}(z) G_{2}(z)

( b ) G(z)=\mathscr{Z}\left[G_{1}(s) G_{2}(s)\right]=G_{1} G_{2}(z)

( c ) G(z)=\mathscr{Z}\left[G_{1}(s)\right] \mathscr{Z}\left[G_{2}(s)\right]=G_{1}(z) G_{2}(z)

典型系统的输出 Z 变换

S域到Z域的映射

z=e^{T_{s} s}=e^{\sigma T_{s}} e^{j \omega T_{s}}=e^{\sigma T_{s}} e^{j 2 \pi \omega / \omega_{s}}

(1) s 平面中实部 \sigma 为常数的线对应 z 平面中半径为 e^{\sigma T s} 的圆。特别地, s 平面的虚轴部分对应 z 平面的单位圆; 虚轴上的连续部分对应一系列重叠的圆.

(2) s 平面中虚部 \omega 为常数的线对应 z 平面中角度 \omega T_{s} 的射线. s 平面的负实部 (-\infty<\sigma<=0) 对应于 z 平面中 0 的实轴部分。

离散系统稳定的定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。

离散系统稳定的充分必要条件：特征方程的所有特征根在单位圆内。

从z平面转换到w平面：

\displaystyle z=\frac{w+1}{w-1} \Leftrightarrow w=\frac{z+1}{z-1}

误差脉冲传递函数

G_{e}(z)=\dfrac{E(z)}{R(z)}

终值定理

\displaystyle e(\infty)=\lim_{z \rightarrow 1}\left(1-z^{-1}\right) E(z)

现代控制理论采用状态空间模型描述系统的行为，能够刻画系统内部变量的运动过程，能够描述多变量系统（MultivariableSystem），包括包括多输入多输出（MIMO）系统。

线性时不变系统状态空间标准描述：

连续系统描述

状态方程 (State equation)：

\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t)

输出方程 (Output equation)：

\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{D} \boldsymbol{u}(t)

离散系统描述

状态方程 (State equation)：

\boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{A x}(k)+\boldsymbol{B u}(k)

输出方程 (Output equation)：

\boldsymbol{y}(k)=\boldsymbol{C x}(k)+\boldsymbol{D u}(k)

定义矩阵指数

\displaystyle \mathrm{e}^{\boldsymbol{A} t}=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k !} \boldsymbol{A}^{k} t^{k}=\mathscr{L}^{-1}\left[(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\right]

对于线性定常系统，\mathrm{e}^{\boldsymbol{A} t} 又称为状态转移矩阵，记为 \boldsymbol{\Phi}(t)

\boldsymbol{\Phi}(t) 具有如下运算性质:

连续线性时不变系统状态方程

\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t)

\displaystyle \begin{aligned}\boldsymbol{x}(t)&=\mathscr{L}^{-1}\left[(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\right] \boldsymbol{x}(0)+\mathscr{L}^{-1}\left[(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{U}(s)\right] \\&=\boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{x}(0)+\int_{0}^{t} \boldsymbol{\Phi}(\tau) \boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t-\tau) \mathrm{d} \tau\end{aligned}

系统的传递函数矩阵

初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。

\boldsymbol{G}(s)=\boldsymbol{C}(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}

\boldsymbol{Y}(s)=\boldsymbol{G}(s) \boldsymbol{U}(s)

一个完全状态可控的系统是对于任意初始时刻 t_{0} ，每个状态都可以在有限的时间 t_{f}>t_{0} 内，由无约束的容许控制向量 u(t) ，将初始状态 \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) 转移到任意最终状态 x\left(t_{f}\right)

一个完全可观的系统是指，存在有限的时刻 t_{f}>t>t_{0} ，系统的输出能唯一的确定每个状态的初始值 x\left(t_{0}\right)

一个系统可控的充分必要条件，是可控性矩阵 M_{C} 具有如下特性

\displaystyle \operatorname{Rank} M_{C}=\operatorname{Rank}\left[\begin{array}{llll}B & A B & \cdots & A^{n-1} B\end{array}\right]=n

可观性的充分必要条件，是可观性矩阵 M_{O} 满足

\displaystyle \operatorname{Rank} M_{O}=\operatorname{Rank}\left[\begin{array}{c}C \\C A \\\vdots \\C A^{n-1}\end{array}\right]=n