王总结向量(优选15篇)

王总结向量 第1篇

高中圆知识点总结

集合：

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹：

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；

3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

圆周角定理推论：

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）

④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。

圆周运动

1、匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的圆弧长度相同。

2、描述匀速圆周运动快慢的'物理量

(1)线速度v：质点通过的弧长和通过该弧长所用时间的比值，即v=s/t，单位m/s;属于瞬时速度，既有大小，也有方向。方向为在圆周各点的切线方向上

**匀速圆周运动是一种非匀速曲线运动，因而线速度的方向在时刻改变。

(2)角速度 ：ω=φ/t(φ指转过的角度，转一圈φ为 )，单位 rad/s或1/s;对某一确定的匀速圆周运动而言，角速度是恒定的

(3)xxx，频率f=1/T

(4)线速度、角速度及周期之间的关系： 3、向心力：向心力就是做匀速圆周运动的物体受到一个指向圆心的合力，向心力只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小。

4、向心加速度：描述线速度变化快慢，方向与向心力的方向相同，

5，注意的结论：

(1)由于 方向时刻在变，所以匀速圆周运动是瞬时加速度的方向不断改变的变加速运动。

(2)做匀速圆周运动的物体，向心力方向总指向圆心，是一个变力。

(3)做匀速圆周运动的物体受到的合外力就是向心力。

6、离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受的合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

王总结向量 第2篇

1.平面向量的数量积

平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a||b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab=|a||b|cos ，规定0a=0.

2.向量数量积的运算律

(1)ab=ba

(2)(a)b=(ab)=a(b)

(3)(a+b)c=ac+bc

[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立.

(1)ab=ac，则b=c吗?

(2)(ab)c=a(bc)吗?

提示：(1)不一定，a=0时不成立，

另外a0时，ab=ac.由数量积概念可知b与c不能确定;

(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.

(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等.

王总结向量 第3篇

数学向量知识点提纲

向量的概念、向量的基本定理

【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算

【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点

【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段xxx比时，可借助图形来帮助理解。

【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题

【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的交汇

【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用

【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

成绩不理想的原因

1、对知识点的理解停留在一知半解的层次上;

2、解题始终不能把握其中关键的数学技巧，孤立的看待每一道题，缺乏举一反三的能力;

3、解题时，小错误太多，始终不能完整的解决问题;

4、解题效率低，在规定的时间内不能完成一定量的题目，不适应考试节奏;

5、未养成总结归纳的习惯，不能习惯性的归纳所学的知识点;

6、学习缺少科学性，上课不认真记笔记，课后不能及时巩固、复习;忙于应付作业，对知识不求甚解。

7、忽视基础，有些“自我感觉良好”的学生，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，反而对难题很感兴趣，以显示自己的“水平” ，好高骛远，重“ 量” 轻“ 质”，没有坚实的基础和基本功，到考试时取得不了高分;

8、忽视作业或练习，缺乏对问题的深入思考，有时练习册上的答案由于印刷错误，孩子们作业做完后核对答案时不相信自己的结论，把自己的答案一划，把错误答案抄上;书写规范性差;

9、周练考试出错率高，一种是一时想不出怎么做，事后会做，临场状态不好;第二种是表面上会做，但由于审题不仔细，对概念理解不清，计算不准确;第三种是时间不够，解题速度慢，平时做题习惯不好，不讲速度;第四种是根本做不出来，基本功不行，更欠缺融会贯通能力。

集合的特性

1、确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

2、互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

3、无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

王总结向量 第4篇

向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ >0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

的几何意义：数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

<<<返回目录

王总结向量 第5篇

高中有机化学知识点总结

1.有机化合物的组成与结构：

⑴能根据有机化合物的元素含量、相对分子质量确定有机化合物的分子式。

⑵了解常见有机化合物的结构。了解有机物分子中的官能团，能正确地表示它们的结构。

⑶了解确定有机化合物结构的化学方法和某些物理方法。

⑷了解有机化合物存在异构现象、能判断简单有机化合物的同分异构体(不包括手性异构体)

⑸能根据有机化合物命名规则命名简单的有机化合物。

⑹能列举事实说明有机分子中基团之间存在相互影响。

2.烃及其衍生物的性质与应用

⑴以烷、烯、炔和芳香烃的代表物为例，比较它们在组成、结构、性质上的差异。

⑵了解天然气、石油液化气和汽油的主要成分及其应用。

⑶举例说明烃类物质在有机合成和有机化工中的重要作用。

⑷了解卤代烃、醇、酚、醛、羧酸、酯的典型代表物的级成和结构特点以及它们的相互联系。

⑸了解加成反应、取代反应和消去反应。

⑹结合实际了解某些有机化合物对健康可能产生影响，关注有机化合物的安全使用问题。

3.糖类、氨基酸和蛋白质

⑴了解糖类的组成和性质特点，能举例说明糖类在食品加工和生物质能源开发上的应用。

⑵了解氨基酸的组成、结构特点和主要化学性质，氨基酸与人体健康的关系。

⑶了解蛋白质的组成、结构和性质。

⑷了解化学科学在生命科学发展中所起的重要作用。

4.合成高分子化合物

⑴了解合成高分子的组成与结构特点，能依据简单合成高分子的结构分析其链节和单体。

⑵了解加聚反应和缩聚反应的特点。

⑶了解新型高分子材料的性能及其在高新技术领域中的应用。

⑷了解合成高分子化合物在发展经济、提高生活质量方面的贡献。

依据反应条件：

⑴能与NaOH反应的有：①卤代烃水解;②酯水解;③卤代烃醇溶液消去;④酸;⑤酚;⑥乙酸钠与NaOH制甲烷

⑵浓H2SO4条件：①醇消去;②醇成醚;③苯硝化;④酯化反应

⑶稀H2SO4条件：①酯水解;②糖类水解;③蛋白质水解

⑷Ni，加热：适用于所有加氢的加成反应

⑸Fe：苯环的卤代

⑹光照：烷烃光卤代

⑺醇、卤代烃消去的结构条件：β-C上有氢

⑻醇氧化的结构条件：α-C上有氢

依据反应现象

⑴水或溴的CCl4溶液褪色：C═C或C≡C;

⑵FeCl3溶液显紫色：酚;

⑶石蕊试液显红色：羧酸;

⑷Na反应产生H2：含羟基化合物(醇、酚或羧酸);

⑸Na2CO3或NaHCO3溶液反应产生CO2：羧酸;

⑹Na2CO3溶液反应但无CO2气体放出：酚;

⑺NaOH溶液反应：酚、羧酸、酯或卤代烃;

⑻生银镜反应或与新制的Cu(OH)2悬浊液共热产生红色沉淀：醛;

⑼常温下能溶解Cu(OH)2：羧酸;

⑽能氧化成羧酸的醇：含“─CH2OH”的结构(能氧化的醇，羟基相“连”的碳原子上含有氢原子;能发生消去反应的醇，羟基相“邻”的碳原子上含有氢原子);

⑾水解：酯、卤代烃、二糖和多糖、酰胺和蛋白质;

⑿既能氧化成羧酸又能还原成醇：醛;

王总结向量 第6篇

数学必背向量知识点

1.向量的基本概念

(1)向量

既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.

向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的xxx向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)

(5)平行向量

方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.

若向量a、b平行，记作a∥b.

规定：0与任一向量平行.

(6)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.

②向量a，b相等记作a=b.

③零向量都相等.

④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.

2.对于向量概念需注意

(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.

(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.

(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.

3.向量的运算律

(1)交换律：α+β=β+α

(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)

(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα

(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ

高中数学学习方法

掌握数学学习实践阶段:在高中数学学习过程中,我们需要使用正确的学习方法,以及科学合理的学习规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学习数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学习数学知识,不要忘记前面的学习。

高中数学学习技巧

1不乱买辅导书。

关于数学，我一本辅导书都没买(高三)，从高三发的第一xxx起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的 因为高三复习的时候都是按章节来的，所以条目很清晰。

1每一xxx不留题。

不留错题和不明白的题，把每一个题目都弄明白，不会的就去问别人问老师。我一开始也不好意思去问老师，因为我基础太差了，可能我不会的题其实只是一个公式题，所以我都是问周围的同学，所幸我周围一圈学霸，每一个都被我问烦了要 在这里要感谢一下他们～

1整理错题。

这个其实真的挺重要，但我前面也说过，我是一个超懒的人，所以我没有做 但是我在后期快三模的时候意识到了这个的重要性，所以把所有卷子集中起来把错题回顾了一遍，不一定动笔(太懒)去做，在脑子里想一遍，一般只用不到一分钟一道，这个时间什么时候都抽得出来的。

1整理笔记。

王总结向量 第7篇

1.有向线段的定义

线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的xxx像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.

2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.

3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和xxx

(2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示.

4.向量的长度(模)：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.

5.相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=.

6.相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.

7.向量平行(共线)：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定： //.

8.零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量.

9.单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量.

10.向量的加法运算：

(1)向量加法的三角形法则

11.向量的减法运算

12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系

对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.

13.数乘向量的定义：

实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作.

向量的长度与方向规定为：(1)||=|

(2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反.

(3)当=0时，当=时，=.

14.数乘向量的运算律：(1))= (结合律)

(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

15.平行向量基本定理

如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.

如果与不共线，若m=n，则m=n=0.

16.非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的单位向量，通常记作.

=||，即==(，)

17.线段中点的向量表达式

点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).

18.平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).

19.利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).

20.两向量相等和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =.

21.向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=.

22.平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.

23.中点公式

若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .

24.重心公式

在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心为G(x，y)，则

x=，y=

25.(1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p.

当=0时，与同向;当=p时，与反向

当= 时，与垂直，记作.

(3)向量的内积定义：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.

(4)内积的几何意义

与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积

当0，90时，0;=90时，

90时，0.

26.向量内积的运算律：

(1)交换率

(2)数乘结合律

(3)分配律

(4)不满足组合律

27.向量内积满足乘法公式

29.向量内积的应用：

王总结向量 第8篇

1、平面向量基本概念

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB;

向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;

零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆);

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;

平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;

单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—(—a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2、平面向量运算

加法与减法的代数运算：

(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)则a b=(x1+x2，y1+y2)。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律);

实数与向量的积：实数与向量的'积是一个向量。

(1)| |=| |·| |;

(2)当a>0时，与a的方向相同;当a<0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0。

两个向量共线的充要条件：

(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= 。

(2)若=()，b=()则‖b 。

3、平面向量基本定理

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2。

4、平面向量有关推论

三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。

若O是三角形ABC的外心，点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。

若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。

三点共线：三点A，B，C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)

王总结向量 第9篇

高考平面向量知识点总结

1．基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：

(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）则a b=（x1+x2,y1+y2 ）．

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;

3．实数与向量的`积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜｜ ｜;

(2) 当 a＞0时， 与a的方向相同；当a＜0时， 与a的方向相反；当 a=0时，a=0．

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．

(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2．

4．P分有向线段 xxx的比：

设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 xxx的比。

当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；

分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ －1）， 中点坐标公式： ．

5． 向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 b=｜ ｜｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

若 =（ ）,b=（ ）则e = e=｜ ｜cos (e为单位向量);

b b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ;

cos = = ．

(4) ．向量的数量积的运算律：

b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc．

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

王总结向量 第10篇

平面向量

xxx航天学校老师总结加法与减法的代数运算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

xxx航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .

(2) 若=(),b=()则‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，xxx航天学校老师提醒有且只 有一对实数，，使得= e1+ e2

王总结向量 第11篇

向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=abcos〈a，b〉;若a、b共线，则ab=+-?a??b?。

向量的数量积的坐标表示：ab=+yy。

向量的数量积的运算律

ab=ba(交换律);

(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的数量积的性质

aa=a的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

3、ab≠ab

4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。

王总结向量 第12篇

向量公式：

1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|

(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j

|向量OP|=根号（x平方+y平方）

(x1,y1)P2(x2,y2)

那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝

|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝

向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2

Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|

(x1x2+y1y2)

=————————————————————

根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）

5.空间向量：同上推论

（提示：向量a=｛x,y,z｝）

6.充要条件：

如果向量a⊥向量b

那么向量a*向量b=0

如果向量a//向量b

那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|

或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a±向量b|平方

=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b

=(向量a±向量b)平方

数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

当λ＜0时，λa与a反方向；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

王总结向量 第13篇

什么是向量

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。

向量垂直公式

a,b是两个向量

a=(a1,a2) b=(b1,b2)

a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数

a垂直b：a1b1+a2b2=0

证明：

①几何角度：

向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)

向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)

(x1,y1)到(x2,y2)的距离：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

两个向量垂直,根据勾股定理：L1² + L2² = D²

∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2

∴ x1x2 + y1y2 = 0

②扩展到三维角度：

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,

那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直

综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。

平面向量加法公式

已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC

即有：AB+BC=AC。

用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，xxx为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，xxx为：共起点 对角连。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。

平面向量减法公式

AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则

xxx为：共起点、连中点、指被减。

-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

平面向量数乘公式

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。

当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，

当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，

当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(-λ)a=-(λa) = λ(-a)

|λa|=|λ||a|

平面向量数量积公式

已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。

零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

王总结向量 第14篇

1.向量的基本概念

(1)向量

既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.

向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的xxx向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)

(5)平行向量

方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.

若向量a、b平行，记作a∥b.

规定：0与任一向量平行.

(6)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.

②向量a，b相等记作a=b.

③零向量都相等.

④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.

2.对于向量概念需注意

(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.

(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.

(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.

3.向量的运算律

(1)交换律：α+β=β+α

(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)

(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα

(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ

王总结向量 第15篇

高二数学平面向量知识点总结

平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。高二数学平面向量知识点总结，我们来看看下文。

1．有向线段的定义

线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的xxx像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.

2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.

3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和xxx

(2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示.

4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.

5．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=.

6．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.

7．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定： //.

8．零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量.

9．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量.

10．向量的加法运算：

(1)向量加法的三角形法则

11．向量的减法运算

12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系

对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.

13．数乘向量的定义：

实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作.

向量的长度与方向规定为：(1)||=|

(2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反.

(3)当=0时，当=时，=.

14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律)

(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

15．平行向量基本定理

如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.

如果与不共线，若m=n，则m=n=0.

16．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的.单位向量，通常记作.

=||，即==(，)

17．线段中点的向量表达式

点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).

18．平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).

19．利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).

20.两向量相等和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =.

21．向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=.

22．平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.

23．中点公式

若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .

24．重心公式

在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心为G(x，y)，则

x=，y=

25．（1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p.

当=0时，与同向;当=p时，与反向

当= 时，与垂直，记作.

(3)向量的内积定义：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.

(4)内积的几何意义

与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积

当0，90时，0;=90时，

90时，0.

26．向量内积的运算律：

(1)交换率

(2)数乘结合律

(3)分配律

(4)不满足组合律

27．向量内积满足乘法公式

29．向量内积的应用：