微积分总结(共4篇)

微积分总结 第1篇

牛顿和xxx兹各自独立发明了微积分，下面我们采取xxx兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看 ----维基百科 ）。

导数为什么出现？

在牛顿——xxx兹开始的古典微积分之前，已经有数学家在对曲线的切线进行研究了。也就是说，导数的出现不是牛顿和xxx兹发明的，而是牛顿和xxx兹在解决曲线围成的面积的时候把导数的定义确定下来了。

简而言之，由古典微积分诞生而产生的导数。

曲线围成的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题。

古典微积分求解曲线围成的面积的主要思想，就是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和：

（显然）直觉告诉我们，如果 n 越大，则这个近似越准确：

此时，无穷小量就出现了。

在古典微积分学中，无穷小量是建立微积分的基础。xxx兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。

在当时的观点下，无穷小量到底是什么，也是颇有争论的。当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为这是真实存在的。

在具体计算曲线下面的面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。

导数的古典定义

在曲线上取两点，连接起来所形成的直线，就称为曲线的割线：

连续的割线可以反应曲线的平均变化率。

也就是说，这一段曲线大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，用割线描述是并不是精确的。

有了切线之后我们进一步去定义导数：

从这张图得出导数的定义 f'(x)=\frac{dy}{dx} ，

而 dx 和 dy 被称为 x 和 y 的微分，都为无穷小量，

所以导数也被xxx兹称为微商（微分之商)。

无穷小量导致的麻烦

上一节的图实际上是有矛盾的：

所以就古典微积分中切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。

无穷小量的麻烦还远远不止这一些， x^2 的导数是这样计算的：\begin{align} \frac{d}{dx}(x^2) & = \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \\ & = \frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} \\ & = \frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx} \\ & = \frac{2xdx+dx^2}{dx} \\ & = 2x+dx \\ & = 2x \end{align}仔细看看运算过程， dx 先是在约分中被约掉，

然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？无穷小量还违反了 xxx德公理 ，这个才是更严重的缺陷，xxx证明过，如果xxx德公理被违背的话会出大问题。

一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。

对于古典微积分的总结

古典微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积求和后得到的

微积分总结 第2篇

\begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \tan\alpha+\tan\beta&=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos \beta}\end{aligned}

微积分总结 第3篇

可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。

导数的极限定义

\begin{align} \displaystyle f'(x_0)& =\frac{dy}{dx}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{align}维基百科

用极限重新严格定义了导数，此时已经脱离了微商的概念。也就是此时，导数应该被看成一个整体。不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转:

原来古典微积分是先定义微分再定义导数，

现在极限微积分是先定义了导数再有微分。

\begin{align} \displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) & \implies \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=0\\ & \implies \frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=a,\lim _{\Delta x \to 0}a=0\\ & \implies \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x \end{align}

由\Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x 可以得出：

\Delta y 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义：

\Delta\chi 对应的曲线的增量是 \Delta y

\Delta\chi 对应的切线的增量是 f'(x)\Delta{x}，把切线的增量定义为微分函数dy

微分函数dy即：dy=f'(x)\Delta x

我们令y=x\implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x ，由此可得 微分dx 的定义。最后我们可以得到 dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x) ：

对于极限微积分的总结

3 疑问的解答微积分实际上被发明了两次。古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。

古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。

微积分总结 第4篇

\begin{aligned} &\int k \,\mathrm{d}x=kx+C \ \mbox{(其中}k\mbox{为常数)} \\ &\int x^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\ (\mu\neq-1) \\ &\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\ &\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C \\ &\int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\ &\int\tan x\,\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ &\int\cot x\,\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ &\int\csc x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \\ &\int\sec x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \\ &\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\ &\int \csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\ &\int \sec x\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\ &\int\csc x \cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ &\int \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ &\int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \\ &\int \sinh x\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \\ &\int \cosh x\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \\ &\int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\ &\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \end{aligned}

第一类换元法

\begin{aligned} &\int {f( ax + b){\rm{d}}x = }\frac{1}{a}\int {f(ax+b){\mathrm{d}}(ax + b)\;(a \neq 0)} \\ &\int {f(a{x^{m + 1}} + b){x^m}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{a(m + 1)}}\int {f(a{x^{m + 1}} + b){\rm{d}}(a{x^{m + 1}} + b)} \\ &\int {f\left( \frac{1}{x}\right) \frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\;} = - \int {f\left( \frac{1}{x}\right) {\rm{d}}\left( \frac{{\rm{1}}}{x}\right) \;} \\ &\int {f(\ln x)\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = \int {f(\ln x){\rm{d(}}\ln x)} \\ &\int {f({\mathrm{e}^x})} {\mathrm{e}^x}{\rm{d}}x = \int {f({\mathrm{e}^x}} ){\rm{d(}}{\mathrm{e}^x}) \\ &\int {f(\sqrt x } )\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt x }} = 2\int {f(\sqrt x } ){\rm{d}}(\sqrt x ) \\ &\int {f(\sin x)\cos x{\rm{d}}x = } \int {f(\sin x){\rm{d}}\sin x} \\ &\int {f(\cos x)\sin x{\rm{d}}x = } - \int {f(\cos x){\rm{d}}\cos x} \\ &\int {f(\tan x){{\sec }^2}} x{\rm{d}}x = \int {f(\tan x){\rm{d}}\tan x} \\ &\int {f(\cot x){{\csc }^2}} x{\rm{d}}x = - \int {f(\cot x){\rm{d}}\cot x} \\ &\int {f(\arcsin x)\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} {\rm{d}}x = \int {f(\arcsin x){\rm{d}}\arcsin x} \\ &\int {f(\arctan x)\frac{1}{{1 + {x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {f(\arctan x){\rm{d}}\arctan x} \\ &\int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{{\rm{d}}f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| f(x)\right| + C\end{aligned}

部分分式

\begin{aligned} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} =& \frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} + \frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{\alpha - 1}}}} + \cdots + \frac{{{A_\alpha }}}{{x - a}} + \notag\ \\&\frac{{{B_1}}}{{{{(x - b)}^\beta }}} + \frac{{{B_2}}}{{{{(x - b)}^{\beta - 1}}}} + \cdots + \frac{{{B_\beta }}}{{x - b}} + \notag\ \\&\frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{({x^2} + px + q)}^\lambda }}} + \frac{{{M_2}x + {N_2}}}{{{{({x^2} + px + q)}^{\lambda - 1}}}} + \cdots + \frac{{{M_\lambda }x + {N_\lambda }}}{{{x^2} + px + q}} + \notag\ \\&\cdots \end{aligned}

三角函数的特殊定积分

\begin{aligned} I_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x\notag \ I_n&\\&=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\notag\ \\&=\begin{cases} \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}\quad (n\mbox{为大于}1\mbox{的正奇数}),I_1=1\\ \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{2}\quad (n\mbox{为正偶数}),I_0=\dfrac{\pi}{2} \end{cases}\end{aligned}