矩阵方法总结(汇总12篇)

矩阵方法总结 第1篇

证明：

由于A2=A，B2=B，则有(A+B)2=A2+AB+BA+B2

而(A+B)2=(A+B)，所以AB+BA=O

用A左乘上式可得A2B+ABA=AB+ABA=O，用A右乘上式可得ABA+BA2=ABA+BA=O，

从而得到AB=-ABA=BA，故有AB=BA=O

矩阵方法总结 第2篇

解题时，先将矩阵方程进行整理，然后把矩阵B用矩阵A和单位矩阵E表示出来，再求B的行列式，注意矩阵与其逆矩阵这两者的行列式的关系

若A是对角矩阵，直接对其矩阵取逆，讲矩阵B用A-1和E表示出来

在化简矩阵方程时，主要利用关系式(AB)T=BTAT

注意使用|A*|=|A|n-1，若一致伴随矩阵，可用伴随矩阵行列式求出原矩阵行列式的值

该结论的证明过程为：

因为|A*||A|=|A*A|=||A|E|=|An|E=|A|n，所以|A*|=|A|n-1

矩阵方法总结 第3篇

对于二元一次方程组

\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2}\end{array}\right.

令 A=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right), B_{1}=\left(\begin{array}{ll}b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22}\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2}\end{array}\right),则当 \mathrm{det} A \neq 0 时, 该方程组有唯一解，求解公式为

x_{1}=\frac{\operatorname{det}\left(B_{1}\right)}{\operatorname{det} A}, \quad x_{2}=\frac{\operatorname{det}\left(B_{2}\right)}{\operatorname{det} A}

三阶方阵的行列式简称为三阶行列式。

\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|\\=\begin{aligned}&a_{11} a_{22} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32}+a_{12} a_{23} a_{31}\end{aligned} \mid-a_{12} a_{21} a_{33}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{22} a_{31}

三个正项和三个负项，注意记各个项的位置。

矩阵方法总结 第4篇

首先是万能公式：

这种解法不管是多项式还是其他函数类型，都能统一解决

例题：

总结：

这种解法有一个比较麻烦的地方，就是要就Jordan标准型外还得求变换矩阵P，而变换矩阵P的求解是很麻烦的。我将在下面详细说下：

但是一般题目为了让你快速求解可能会给你一些比较特殊的矩阵，比如：

这个矩阵A本来就是Jordan标准型转置过来，所以我们可以轻松得到它的Jordan标准型，将A转置回去就是A的Jordan标准型

同理： J=A^T \\自己可以验证 f(A) = f(J)^T 这样能快速求解A的若当标准型以及矩阵函数。

比如最小多项式里面不同的特征值在两个以内，总阶数在3以内，可以用矩阵多项式表示法来求解，这样比前面的万能公式要快很多

两个方法：

比如给的题目是：

得到的最小多项式是： \psi_A(\lambda) = (\lambda-4)^2 这样的只有一个特征值且只有两阶的最小多项式，不用矩阵函数的多项式表示解法来求解就太可惜了。

一般的这个计算必然是让你要么观察矩阵的特征，要么通过这种方式，快速求解！一定要摸清套路。

比如给你一个矩阵A，让你求|e^{kA}|,一般情况下我们求出Jordan标准型表示的式子f(A)=Pf(J)P^{-1},这样的话 \\ |f(A)|=|Pf(J)P^{-1}|=|P||f(J)||P^{-1}|=|f(J)|

矩阵方法总结 第5篇

如图所示，该矩阵称为m行n列矩阵

若行数和列数都等于n，则该矩阵称为n阶方阵

两个矩阵的行数相等，列数也相等，就称它们为同型矩阵

若A=（aij）和B=（bij）是同型矩阵，且aij=bij（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n），则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B

矩阵方法总结 第6篇

\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)

这实际上是行列式的运算定理，这里使用分块矩阵的方法可以给出一个较好的证明，因此在这里证明一下证明:

\begin{aligned}& \quad \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)=\left|\begin{array}{cc}A & O \\* & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A & O \\-E & B\end{array}\right| \\&=\left|\begin{array}{cc}O & A B \\-E & B\end{array}\right|=(-1)^{n} \cdot\left|\begin{array}{cc}A B & O \\B & -E\end{array}\right| \\&=(-1)^{n} \cdot \operatorname{det}(A B) \cdot \operatorname{det}(-E) \\&=(-1)^{n} \cdot \operatorname{det}(A B) \cdot(-1)^{n} \operatorname{det}(E)=\operatorname{det}(A B)\end{aligned}

我们知道对于数来说，我们定义了乘法逆元这个概念，也就是我们常说的倒数，. ab=ba=1而对于矩阵，是否可以找到有着类似性质的矩阵使得AB=BA=E呢，这就是这一小节所要讨论的问题。

对于矩阵 A, 右仔在矩阵 B, 使得

A B=B A=E,

则称 A 为可逆矩阵,简称 A 可逆, 并称 B 为 A 的逆矩阵.凡是有逆矩阵的矩阵成为非奇异阵或可逆阵，否则称为奇异阵。

矩阵方法总结 第7篇

设 A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{1} 均为同阶方阵, 则有

\operatorname{det}\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{t}\right)=\operatorname{det}\left(A_{1}\right) \operatorname{det}\left(A_{2}\right) \cdots \operatorname{det}\left(A_{t}\right)

矩阵方法总结 第8篇

D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n} \\x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{array}\right|=\prod_{n>i>j>1}\left(x_{i}-x_{j}\right)

思路：观察，猜测，数学归纳法证明

注意这里的n是行列式的阶数。如果不知道n是什么，做题一样寄。

行列式的计算问题恐怕会是一类很重点的题型，需要进行认真训练和总结。

矩阵方法总结 第9篇

对于高阶矩阵，方法二烦琐且易出错，通常使用方法一

注意在使用方法一时，要先证明该矩阵可逆，即证明该矩阵行列式不等于0

若遇到求(A*)-1，利用公式AA*=|A|E来直接计算(A*)-1，简化了计算过程，此外，若|A|!=0(证明|A|可逆)，

则(A*)-1=(|A|A-1)-1=A/|A|

矩阵方法总结 第10篇

所以|(A*)*|=||A|n-2A|=|A|(n-2)n|A|=|A|(n-2)n+1

求逆矩阵与伴随矩阵的行列式时，通常要用到以下几个公式

1.|AB|=|A||B|

*=|A|E

3.|A*|=|A|n-1

4.|A-1|=|A|-1

5.|λA|=λn|A|

矩阵方法总结 第11篇

涉及证明是否为对称矩阵或非对称矩阵的题，先把原式进行转置，看转置后的式子是否符合对称矩阵或者非对称矩阵的定义

例如：设A为n阶方阵，证明A-AT不是对称矩阵，对A-AT进行转置，即(A-AT)T=AT-A!=A-AT

故该矩阵不是对称矩阵

矩阵方法总结 第12篇

总结：

正规矩阵的谱分解步骤：

A^HA=AA^H

假如特征值\lambda_i,对应的标准正交特征向量为\eta_1,\eta_2,...,\eta_n \\ 则该特征向量对应的正交投影矩阵为G_i=\eta_1\eta_1^H+\eta_2\eta_2^H+...+\eta_n\eta^H \\ 所以A = \sum_{i=1}\lambda_iG_i

例子：

总结：

将其中的特征向量组成变换矩阵P，求出(P^{-1})^T,则抽出该矩阵的列向量\beta_1,\beta_2,... \\ 同理，如果特征值\lambda_i,对应的特征向量为\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \\ 则对应的正交投影矩阵为: G_i = \alpha_1\beta_1^T+,...,\alpha_n\beta_n^T \\ 最终结果: A = \sum_{i=1}\lambda_iG_i