直线的总结(精选4篇)

直线的总结 第1篇

文稿|杨宝明

审核|_德

微信号 :mxxdjy2015

点“在看”给我一朵小黄花

直线的总结 第2篇

1、一般式：适用于所有直线

Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)

2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为

y-y0=k(x-x0)

当k不存在时，直线可表示为

x=x0

3、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线

由点斜式可得斜截式y=kx+b

与点斜式一样，也需要考虑K存不存在

4、截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线

知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为

bx+ay-ab=0

特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1

5、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线

(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)

6、法线式

Xcosθ+ysinθ-p=0

其中p为原点到直线的`距离，θ为法线与X轴正方向的夹角

7、点方向式 (X-X0)/U=(Y-Y0)/V

(U，V不等于0，即点方向式不能表示与坐标平行的式子)

8、点法向式

a(X-X0)+b(y-y0)=0

温馨提示：在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

直线的总结 第3篇

直线的一般方程

如上所述，一次函数已经可以很好的表示直线了

但它有一个小的不方便和一个大的不方便

小的不方便：

y=kx+b（注意：这里k可以为0）无法表达与y轴平行的直线，需要另写为x=a

大的不方便：

一次函数归根到底还是个函数，它表示的是：y随着x变化而变化的规律

在一次函数中，因变量y与自变量x的地位是“不平等”的

在表示直线，特别是涉及到直线的性质、与其他图形相互间关系的计算时，一次函数并不总是好用

好在，只需要对一次函数做个小小的“变形”，它就能成为更加好用的工具

这个工具就是方程

如何来变化呢？

非常简单

一次函数的标准式：

y=kx+b

它是一个等式

等式的左右两边是可以移来移去的

我们把所有元素都移到一边，就变成了：

kx-y+b=0

这里k可以为0

但是y的系数就不能为0了

为了解决这个问题，在y前面也加个系数就好了，比如用字母 p，就变成了：

kx-py+b=0

这个式子看起来有些乱，我们用a、b、c来代表系数，并且全都用加号，（需要减号时让a或b或c是负数就好了），于是就变成了：

ax+by+c=0（a、b不同时为0）

这是直线的一般方程

在这个方程里，x和y是“平等”的

x的系数a可以为0，y的系数b也可以为0，但a、b不能同时为0，否则它将失去意义

对于给定的直线，除了a=0或者b=0的情形，如果确定了x，就可以求出y；如果确定了y，就可以求出x

一般式最大的优点就是“一般”，非常的简洁，可以表示任何的直线，没有冗余的成分，每个元素都不能少

一般式最大的缺点也是“一般”，过于简洁了，没有直接“透露”直线的信息，虽然只要对它进行简单的运算就可以得到

一次函数与直线一般方程

现在来比较下一次函数和直线的一般方程的表达式：

一次函数：y=kx+q

直线方程：ax+by+c=0

将直线方程变形为一次函数的形式：

y=(-a/b)x+(-c/b)

可以看出：k=-a/b，q=-c/b

当然，这里不包括b=0的情形

向量与直线

现在来比较下向量和直线

方向

向量和直线都有“方向”

向量的方向是确定的一个，比如向量（u，v）的方向可以用起点为原点（0，0）指向点（u，v）的箭头表示

直线有方向，指向两个没有尽头的“头”

这么看来，向量更像是只有一个方向的射线

量（大小）

向量有“量”，直线没有量

向量有确定的长短，也就是它的模，比如向量（u，v）的长度就是 \sqrt{u^{2}+v^{2}}

直线是无限长的

这么看来，向量又更像是有长度的线段

事实上，向量就是有方向的线段

平移

向量可以任意平移，它的要素只有“方向”和“量”这2个，不包含“位置”，无论向量如何平移，它的“方向”和“量”都不变

直线平移后就变成其他直线了，新的直线与原直线平行，有相同的方向

旋转

向量旋转之后，方向就变了，就变成了其他的向量

当向量旋转π之后，变成与原来方向相反的向量

向量旋转通常是以它的起点为中心进行旋转

直线旋转之后方向也变了，变成了其他的直线

不同的是，直线旋转π之后，又变回原来的直线，因为直线有两个“头”

直线旋转通常是需要选定某个特定的点为中心，无论如何旋转这个点都在直线上，其他点就都不在了（除了与原来重合时）

拉伸（压缩）

向量有模，拉伸或压缩，它的长度发生变化

直线是无穷长的，拉伸或压缩对它不起作用

直线的其他方程

刚刚比较向量与直线，是为了这里铺路

直线的一般方程中讲到了，一般方程没有很直观的表达出直线的信息，下面要讲几个特殊的方程，分别直观地体现了直线的不同特点，可以在不同的时候选取合适的形式使用，但它们本质上都是一般方程的变形，也都可以简化为一般方程

点方向式方程

中比较了向量与直线的方向

可以发现，向量与直线都是有方向的

不同的是向量有正负，直线的两端没有正负之分

但二者的方向都可以用与坐标轴的夹角来表示

某个向量如果与某条直线平行，那么它的反方向也与该直线平行

比如直线ax+by+c=0

它的斜率为-a/b

那么它就与向量（1，-a/b）平行，也与（-1，a/b）平行

图中的直线为x-y-1=0（也就是y=x-1），它的斜率为1

（注意：现在开始要熟悉使用方程代替一次函数，事实上一次函数也是方程的一种特殊形式）

图中红色的向量为（1,1），蓝色的向量为（-1，-1），它们都与x-y-1=0平行

要确定一条直线，我们可以通过确定它的方向（这样它就不能旋转了），再确定某个它经过的某个点（这样它就不能平移了），来唯一确定它

这个过程有些像把画钉在墙上，先确定这幅画是正着还是以某个角度钉上去，然后再选取要钉的具体位点，这副画就唯一确定了

确定方向（挂画的角度）和确定经过的点（钉画的位点）两个过程是相互独立的，谁先谁后都可以

那么，当我们知道某条直线的方向是向量（u，v），同时又知道它经过点 (x_{0}，y_{0}) ,该如何求它的方程呢？

很简单，既然这条直线与向量（u，v）平行，那么它的任意两点间的斜率与（u，v）相同

取任意点（x，y）和已知点(x_{0}，y_{0})

这两点间的斜率就是 (y-y_{0})/(x-x_{0})

它与（u，v）的斜率相同，也就是v/u

由此可得：

(y-y_{0})/(x-x_{0}) =v/u

也就是

(x-x_{0})/u= (y-y_{0})/v

上面这个式子叫作直线的点方向式方程

(x_{0}，y_{0})是已知该直线经过的点，向量（u，v）是它的方向向量

对上式进行变形后可以得到：

vx+(-u)y+(-vx_{0}+uy_{0})=0 的一般式

这里一般式ax+by+c=0中a=v，b=-u，c= -vx_{0}+uy_{0}

举例

下面来看个具体的例子

已知某直线的方向向量是（1,2），它经过点A（2,1），求直线方程

很简单

设直线上任意点X（x，y）

则向量AX的方向就是（x-2，y-1）

由于它的方向向量就是（1,2）

因此(y-1)/(x-2)=2/1

或者(x-2)/1=(y-1)/2（二者是一样的）

解得直线方程为2x-y-3=0

点方向式方程的最佳使用条件就是在知道直线的方向和经过的点时，可以很快求出直线的方程

这个方程的核心在于 (y-y_{0})/(x-x_{0}) =v/u或者 (x-x_{0})/u= (y-y_{0})/v

这个式子就是“平行”的数学本质：斜率相等

点法向式方程

这里先要介绍法向量

与直线l垂直的向量就叫作直线l的法向量

比如x轴的正方向就是y轴的法向量，x轴的负方向也是y轴的法向量

同样y轴的正方向和负方向都是x轴的法向量

总之只要两条直线相互垂直，其中一条直线的某个方向向量就是另一条直线的法向量

专门提出一个叫法向量的东西看起来好像有些多此一举，其实它还是很好用的，这里就是第一个应用：

当知道某直线的法向量（u，v）和它经过的一个点(x_{0}，y_{0})时，求这条直线的方程

很简单，和点方向式类似，从直线上任取一点X (x, y)

于是 (x-x_{0}，y-y_{0}) 就是它的方向向量

又已知法向量（u，v）与它垂直

于是（u，v）· (x-x_{0}，y-y_{0})=0

也就是 u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0

化简得ux+vy+(-ux_{0}-vy_{0})=0

比较下一般式ax+by+c=0可以看出：a=u，b=v，c= -ux_{0}-vy_{0}

举例

下面来看个具体的例子

已知某直线的法向量是（-2,1），它经过点A（2,1），求直线方程

很简单

设直线上任意点X（x，y）

则向量AX的方向就是（x-2，y-1）

由于它的法向量就是（-2,1）

因此-2*(x-2)+1*(y-1)=0

解得直线方程为-2x+y+3=0

或者变下正负号成为2x-y-3=0

点法向式方程的最佳使用条件就是在知道直线的法向量和经过的点时，可以很快求出直线的方程

这个方程的核心在于(u,v)\bullet(x-x_{0}, y-y_{0})=0也就是u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0

这个式子就是“垂直”的数学本质：向量内积为0

点法向式还有个2个优点：

它的一般式ax+by+c=0中的系数a和b分别就是法向量u和v

在处理两条直线的平行、垂直或者求夹角时，直接求它们法向量是否平行、垂直、夹角就行

两点式

小学就学过“经过两点有且只有一条直线”

那么已知两点，如何确定一条直线呢？

已知某直线经过点 (x_{1}, y_{1}) 和 (x_{2}, y_{2}) ，求直线方程

很简单，还是用“直线上任意两点斜率处处相等”

设任意点X（x，y）

则有： (y-y_{1})/(x-x_{1})=(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})

后续化简不再展开

这里只是再次使用下“直线上任意两点斜率处处相等”的概念以加深印象

直线的总结 第4篇

1.特征：

（1）由三条线段围成的图形。

（2）内角和是180度。

（3）三角形具有稳定性。

（4）三角形有三条高。

2.计算公式 ：s=ah/2

3.分类 ：

（1）按角分：

锐角三角形：三个角都是锐角。

直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

（2）按边分：

不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。