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极值的总结(合集11篇)

总结
2024-03-07 08:49:17
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极值的总结第1篇

求函数最值的方法总结

函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。

②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t（x）的.二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）

④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。

（2）数形结合法。数形结合法是数学中的一种重要的思想方法，即考虑函数的几何意义，结合几何背景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观、简捷。通过数与形之间的对应和转化来解题，有许多的优越性。将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，借助几何图形活跃解题思路，使解题过程简化。有时函数最值也借助数形结合方法来求解。

①解析式：解析法是观察函数的解析式，结合函数相关的性质，求解函数最值的方法。

②函数性质法：函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质，如函数的单调性求函数最值等。

③构造复数法：构造复数法是在已经学习复数章节的基础上，把所求结论与复数的相关知识联系起来，充分利用复数的性质来进行求解。

④求导法（微分法）：导数是高中现行教材新增加的内容，求导法求函数最值是应用高等数学的知识解决初等问题，可以解决一类高次函数的最值问题。找闭区间[a，b]上连续的函数f（x）的最大（或最小）值时，将不可导点、稳定点及a，b处的函数值作比较，最大（或最小）者即为最大（或最小）值。

综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式，在解题时要因题而异；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法。因此，解题的关键在于认真分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，当然应该注意选择最优解法。

以上八种方法仅作为个人的一点愚见，仅是沧海一粟，希望在应用的时候千万不能按部就班，难免会遇到瓶颈，只有弄清其本质，在应用时才能取得事半功倍的效果。

极值的总结第2篇

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值xxx造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一

极值的总结第3篇

求极限方法总结

为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下：

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1 极限分为一般极限，还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)

2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了你还能有补充么???)

1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2落笔他法则 (大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提

必须是 X趋近而不是N趋近(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

(还有一点数列极限的'n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷)

必须是函数的导数要存在(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死)

必须是 0比0 无穷大比无穷大

当然还要注意分母不能为0

落笔他法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷时候直接用

2 0乘以无穷无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近xxx 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近xxx)

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意 )E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了

6夹逼定理(主要对付的是数列极限)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式

(地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数 (画图也能看出速率的快慢)当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性

16直接使用求导数的定义来求极限，

(一般都是x趋近xxx时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式，看见了有特别注意)

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义)

极值的总结第4篇

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的`应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四．判别式法

若可化为xxx变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为－2x+1(x≤1)

y=3(-1

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域

七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

极值的总结第5篇

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1（t≥0）,则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.

十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。

函数的值域为｛z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多项式的除法

极值的总结第6篇

求函数最小值

设x,y,z>0,且x+y+z=6.求函数

f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]

的最小值.

解函数f(x,y,z)当x=0,y=z=3时,有最小值.最小值为2/9.

(x^2+y^2+z^2)/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]>=2/9 (1)

(x^2+y^2+z^2)*(x+y+z)^2/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]>=8 (2)

(2)<===>

Σx^4+2Σ(y+z)x^3-6Σ(yz)^2+2xyzΣx>=0 (3)

设x=min(x,y,z),(3)分解为

x(x+3y+3z)*(x-y)*(x-z)+xyz(x+y+z)

+[-3x^2+2x(y+z)+y^2+z^2+4yz]*(y-z)^2>=0

显然成立.

极值的总结第7篇

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，xxx了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

极值的总结第8篇

1．函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．

图1图2

2．函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．

3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

对极值的深层理解：

考点一根据函数图象判断极值

【方法总结】

由图象判断函数y＝f(x)的极值

A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4．当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C．(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0．由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．

A．B．C．D．答案C解析因为函数f(x)的图象过原点，所以d＝0．又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2．由题意知x1，x2是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝，故选C

A．f′(1)＝f′(－1)＝0B．当x＝－1时，函数f(x)取得极大值C．方程xf′(x)＝0与f(x)＝0均有三个实数根D．当x＝1时，函数f(x)取得极小值答案C解析由图象可知f′(1)＝f′(－1)＝0，A说法正确．当x<－1时，<0，此时f′(x)>0；当－1<x<0时，>0，此时f′(x)<0，故当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，B说法正确．当0<x<1时，<0，此时f′(x)<0；当x>1时，>0，此时f′(x)>0，故当x＝1时，函数f(x)取得极小值，D说法正确．故选C．

A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值答案ABD解析由函数y＝f(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f(x)在x＝－1，5取得极小值，在x＝3取得极大值，C错误．故选A、B、D．

答案D解析当x＝0时，y＝2，排除A，B．由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D．

【对点训练】

1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()

A．1B．2C．3D．4

1．答案A解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．

2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立

的是()

A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值

C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值

2．答案BC解析由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2，0)时，g(x)<0，∴f′(x)

>0，当x∈(0，1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0．∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．

3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于()

A．B．C．D．

3．答案C解析由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1

＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×＝．

4．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则＝________．

4．答案1解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由图象知，方程f′(x)＝0的两根为－1和2，则有

即∴＝＝＝1．

5．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是()

A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的最小值点

C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零

5．答案BD解析根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，

∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点，∵函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大xxx，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零．故错误的命题为BD．

考点二求已知函数的极值

【方法总结】

求函数的极值或极值点的步骤

A．xf(x)在(0，＋∞)上单调递增B．xf(x)在(0，＋∞)上单调递减

C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值

答案ABC解析由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x得x＞0，则xf′(x)＋f(x)＝，即[xf(x)]′＝，设g(x)＝xf(x)，即g′(x)＝，由g′(x)＞0得x＞1，由g′(x)＜0得0＜x＜1，即xf(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，即当x＝1时，函数g(x)＝xf(x)取得极小值g(1)＝f(1)＝．故选ABC．

[例2]给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，

若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的拐点．已知f(x)＝ax＋sinx－cosx．

解析(1)∵f(x)＝ax＋sinx－cosx，∴f′(x)＝a＋cosx＋sinx，

∴f″(x)＝－sinx＋cosx，∵f″(x0)＝0，∴－sinx0＋cosx0＝0．

而f(x0)＝ax0＋sinx0－cosx0＝ax0．∴点M(x0，f(x0))在直线y＝ax上．

(2)令f′(x)＝0，得a＝－2sin，

作出函数y＝－2sin，x∈(0，2π)与函数y＝a的草图如下所示：

由图可知，当a≥2或a≤－2时，f(x)无极值点；当a＝－时，f(x)有一个极值点；

当－2<a<－或－<a<2时，f(x)有两个极值点．

[例3](2021·天津高考节选)已知a＞0，函数f(x)＝ax－x·ex．

解析(1)因为f(0)＝0，f′(x)＝a－(x＋1)ex，所以f′(0)＝a－1，

所以函数在(0，f(0))处的切线方程为(a－1)·x－y＝0．

(2)若证明f(x)仅有一个极值点，即证f′(x)＝a－(x＋1)ex＝0，只有一个解，

即证a＝(x＋1)ex只有一个解，

令g(x)＝(x＋1)ex，只需证g(x)＝(x＋1)ex的图象与直线y＝a(a＞0)仅有一个交点，g′(x)＝(x＋2)ex，

当x＝－2时，g′(x)＝0，

当x＜－2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x＞－2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，

当x＝－2时，g(－2)＝－e－2＜0．当x→＋∞时，g(x)→＋∞，当x→－∞时，g(x)→0－，

画出函数g(x)＝(x＋1)ex的图象大致如下，

因为a＞0，所以g(x)＝(x＋1)ex的图象与直线y＝a(a＞0)仅有一个交点．即f(x)存在唯一极值点．

【对点训练】

1．函数f(x)＝2x－xln x的极值是()

A．B．C．eD．e2

1．答案C解析因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，当f′(x)＞0时，解得0＜x＜e；当f′(x)＜0时，解得

x＞e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e．故选C．

2．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()

A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0

2．答案C解析f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1．

3．函数f(x)＝x2＋ln x－2x的极值点的个数是()

A．0B．1C．2D．无数

3．答案A解析函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x＋－2＝＝≥0，即f(x)在定义

域上单调递增，无极值点．

4．函数f(x)＝(x2－x－1)ex(其e＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是；极大值为．

4．答案1或－2解析由已知得f′(x)＝(x2－x－1＋2x－1)ex＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex，因为ex

＞0，令f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝1，当x＜－2时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间(－2，1)上单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故f(x)的极值点为－2或1，且极大值为f(－2)＝．

5．已知函数f(x)＝ax3－bx＋2的极大值和极小值分别为M，m，则M＋m＝()

A．0B．1C．2D．4

5．答案D解析f′(x)＝3ax2－b＝0，由题意，知该方程有两个根，设该方程的两个根分别为x1，x2，

故f(x)在x1，x2处取到极值，M＋m＝ax－bx1＋2＋ax－bx2＋2＝－b(x1＋x2)＋a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋4，又x1＋x2＝0，x1x2＝－，所以M＋m＝4，故选D．

6．若x＝－2是函数f(x)＝x3－ax2－2x＋1的一个极值点，则函数f(x)的极小值为()

A．－B．－C．D．

6．答案B解析由题意，得f′(x)＝x2－2ax－2．又x＝－2是函数f(x)的一个极值点，所以f′(－2)＝2

＋4a＝0，解得a＝－．所以f(x)＝x3＋x2－2x＋1，所以f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)．当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0．所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x＝1时，函数y＝f(x)取得极小值，为f(1)＝＋－2＋1＝－．故选B．

7．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为()

A．2B．－C．3＋ln 2D．－2＋2ln 2

7．答案B解析由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝4a－2＝0，解得

a＝，∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－．

8．已知函数f(x)＝xlnx，则()

A．f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)B．f(x)在上是减函数

C．当x∈(0，1]时，f(x)有最小值－D．f(x)在定义域内无极值

8．答案BC解析因为f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，令f′(x)＝0，所以x＝，当x∈时，f′(x)＜0，当x

∈时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，x＝是极小值点，所以A错误，B正确；当x∈(0，1]时，根据单调性可知，f(x)min＝f＝－，故C正确；显然f(x)有极小值f，故D错误．故选BC．

9．(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是()

A．函数f(x)存在两个不同的零点

B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C．当－e<k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根

D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2

9．答案ABC解析由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，∴x＝，故A正确．f′(x)＝－＝

－，当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(－1，2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确．又f(－1)＝－e，f(2)＝，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，∴f(x)的图象如图所示，由图知C正确，D不正确．

10．若函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，

则x2－x1＝________．

10．答案－2解析因为函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，且f(1)＝0，所以

f(－5)＝0，f(－2)＝0，所以x＝－2，x＝－5是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．由根与系数的关系可得，a＝7，b＝10，所以f(x)＝(1－x)(x2＋7x＋10)，所以f′(x)＝－(x2＋7x＋10)＋(1－x)(2x＋7)＝－3(x2＋4x＋1)．又因为x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，所以x1，x2是x2＋4x＋1＝0的两个根，且x1>x2．解方程可得，x1＝－2＋，x2＝－2－，所以x2－x1＝－2．

11．已知函数f(x)＝ex(x－1)－eax2，a＜0．

11．解析(1)因为f(x)＝ex(x－1)－eax2，所以f′(x)＝xex－xea．所以f(0)＝－1，f′(0)＝0．

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－1．

(2)f′(x)＝xex－xea＝x(ex－ea)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a(a＜0)．

f(x)与f′(x)在R上的变化情况如表：

由表可知，当x＝0时，f(x)有极小值f(0)＝－1．

12．已知函数f(x)＝．

A．a<bB．a>bC．ab<a2D．ab>a2

答案D解析法一(特殊值法)当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2(x－2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误．

法二(数形结合法)当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图3所示，观察可知b>a．

当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>b．

综上，可知必有ab>a2成立．故选D．

[例2]已知曲线f(x)＝xex－ax3－ax2，a∈R．

解析(1)当a＝0时，f(x)＝xex⇒f′(x)＝ex＋xex⇒f′(1)＝2e，

又f(1)＝e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，化简得y＝2ex－e．

(2)因为f′(x)＝ex(x＋1)－2ax(x＋1)＝(x＋1)(ex－2ax)，

所以令f′(x)＝0⇒(x＋1)(ex－2ax)＝0⇒x＋1＝0或ex－2ax＝0，

由于函数y＝f(x)有三个极值点，所以方程ex－2ax＝0必有两个不同的实根，

设g(x)＝ex－2ax，则g′(x)＝ex－2a，

易知a≤0时，g′(x)>0，g(x)在R上单调递增，不合题意，故a>0，所以g(x)的两个零点必为正数．

令g′(x)＝0⇒ex－2a＝0⇒x＝ln(2a)，

所以在x∈(－∞，ln(2a))时，g′(x)<0，g(x)单调递减；在x∈(ln(2a)，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．

依题意，要使得函数g(x)＝ex－2ax有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，则g(x)min＝g(ln(2a))<0，

于是eln(2a)－2aln(2a)<0⇒2a－2aln(2a)<0⇒1－ln(2a)<0⇒a>．

所以当a>时，在x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，在x∈(－1，x1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

在x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，在x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

故实数a的取值范围是．

【对点训练】

1．若函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点为1，则a＝()

A．－2B．－1C．0D．1

1．答案A解析f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex．由题意知f′(1)＝e(2＋a)＝0，∴a＝－2．故选A．

2．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为()

A．6B．2C．2或6D．0

2．答案B解析由f′(2)＝0可得c＝2或6．当c＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x

＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x＝2处取得极大值．故选B．

3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－17(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的

极小值等于－98，则a的值是()

A．－B．C．2D．5

3．答案C解析由题意，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，所以a>0，且－2＋

3＝－，－2×3＝，则3a＝－2b，c＝－18a，f(x)的极小值为f(3)＝27a＋9b＋3c－17＝－98，解得a＝2，b＝－3，c＝－36，故选C．

4．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为．

4．答案∪解析若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1

＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c)2－12＞0，解得c＞或c＜－．所以实数c的取值范围为∪．

5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．

5．答案(－∞，－1)解析由y′＝ex＋a＝0得x＝ln (－a)(a<0)，显然x＝ln (－a)为函数的极小值点，

又ln (－a)>0，∴－a>1，即a<－1．

6．若函数f(x)＝(2－a)在上有极大值，则实数a的取值范围为()

A．(，e)B．(，2)C．(2，e)D．(e，＋∞)

6．答案B解析令f′(x)＝(2－a)(x－1)(ex－a)＝0，得x＝ln a∈，解得a∈(，e)，由题意知，

当x∈时，f′(x)>0，当x∈(lna，1)时，f′(x)<0，所以2－a>0，得a<2．综上，a∈(，2)．故选B．

7．已知函数f(x)＝－ax在(1，＋∞)上有极值，则实数a的取值范围为()

A．B．C．D．0，

7．答案B解析f′(x)＝－a，设g(x)＝＝－，因为函数f(x)在(1，＋∞)上有极值，

所以f′(x)＝g(x)－a有正有负．令＝t，由x>1可得ln x>0，即t>0，得到y＝t－t2＝－2＋≤．所以a<，故选B．

8．若函数f(x)＝x2－x＋alnx有极值，则实数a的取值范围是________．

8．答案解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋＝，由题意知y＝f′(x)有

变号零点，令2x2－x＋a＝0，即a＝－2x2＋x(x>0)，令φ(x)＝－2x2＋x＝－22＋(x>0)，其图象如图所示，故a<．

9．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为________．

9．答案解析对函数求导得f′(x)＝x－1＋a＝，x>0，因为函数存在唯

一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大xxx，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)＝－＋a≥1，所以a≥．

10．已知函数f(x)＝xlnx＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________．

10．答案解析f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝，

设g(x)＝，则g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－lnx－1，则h′(x)＝－－<0(x>0)，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)max＝g(1)＝，而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m<，故－<m<0．

11．已知函数f(x)＝xln x－ax2－2x有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

11．答案解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln x－ax－1．根据题意可得f′(x)在(0，＋∞)

上有两个不同的零点，则ln x－ax－1＝0有两个不同的正根，从而转化为a＝有两个不同的正根，所以y＝a与y＝的图象有两个不同的交点，令h(x)＝，则h′(x)＝，令h′(x)>0得0<xh′(x)<0得x>e2，所以函数h(x)在(0，e2)为增函数，在(e2，＋∞)为减函数，又h(e2)＝，x→0时，h(x)→－∞，x→＋∞时，h(x)→0，所以0<a<．

12．已知函数f(x)＝－a．若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是()

A．[0，1) B．(0，1) C．D．

12．答案C解析f′(x)＝，所以f′(x)，f(x)的变化如下表：

若a＝0，x＞0时，f(x)＞0，f(x)最多只有一个零点，所以a≠0．若f(x)有两个零点，则－a＞0，即a＜，结合a＝0时f(x)的符号知0＜a＜．故选C．

极值的总结第9篇

(一) 四则运算法则

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三) 利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

(四) 定积分定义

考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。