极限求法总结(24篇)

极限求法总结 第1篇

利用此定理求函数的极限时 ，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换 ，因为经此代换后 ，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理 ，必须熟记一些常 用的等价无穷小 。

lim√(1-cosx)/tanx

=lim-√2sin(x/2)/tanx

=lim-√2/2x/x

=-√2/2

lim√(1-cosx)/tanx

=lim√2sin(x/2)/tanx

=lim√2/2x/x

=√2/2

因为lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx

所以极限不存在

极限求法总结 第2篇

（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

设 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：

当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？

当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？

注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0

b+1, x=0

X^2-1, x>0

解：f(0)＝b+1

左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a

左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1

f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，

所以a＝-1＝b+1，

所以a＝-1，b＝-2

极限求法总结 第3篇

求极限方法总结

为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下：

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了你还能有补充么???)

1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提

必须是 X趋近而不是N趋近(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

(还有一点 数列极限的'n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷)

必须是 函数的导数要存在(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死)

必须是 0比0 无穷大比无穷大

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了

30的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近xxx 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近xxx)

3xxx公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 )E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母看上去复杂处理很简单

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了

6夹逼定理(主要对付的是数列极限)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 还有个方法 ，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方 快于 x 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢)当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性

16直接使用求导数的定义来求极限 ，

(一般都是x趋近xxx时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意)

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义)

极限求法总结 第4篇

求高极限数的方法总结

求高数极限的方法总结

1、利用定义求极限。

2、利用xxx准则来求。

xxx准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的.自然数m有|xn-xm|<ε.

3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。

如：lim(x+x^)^(x+1)^

=lim(x^)(1+1/x^)^(x^)(1+1/x)^

=1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)

可令x=y^mn

得：＝n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim sinx/x=1

x->0

(2)lim (1+1/n)^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的。

10、用xxx公式来求，这用得也很经常。

极限求法总结 第5篇

数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整数N使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限

对于任意的m,n属于正整数，m>n

|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m

=(1/n-1/m)→0

由xxx收敛原理得{xn}收敛

当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m

=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0

由xxx收敛原理得{xn}收敛

综上{xn}收敛，即{xn}存在极限

极限求法总结 第6篇

利用公式： 以上就求函数极限的方法 【2023-02-03】： bilibil账户: b站地址

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极限求法总结 第7篇

= 求函数极值的若干方法 (其y=中求函数极值的若干方法 为锐角，且 求函数极值的若干方法 )

∵-1≤sin(2θ+α)≤1,

∴ 求函数极值的若干方法 ≤y≤ 求函数极值的若干方法

当sin( 求函数极值的若干方法 ) = -1时,   求函数极值的若干方法

故x = 求函数极值的若干方法

当sin 求函数极值的若干方法 时，2 求函数极值的若干方法

故x = 求函数极值的若干方法

即当x =- 求函数极值的若干方法 时, 求函数极值的若干方法

当x= 求函数极值的若干方法  时,  求函数极值的若干方法

此题中抓住了函数的定义域[-1，1]为条件。从而将无理函数转化为三角函数来得以解决函数的极值问题。

五、用解析法求极值

形如y=求函数极值的若干方法 其中(f(x)、g(x)是关于的二次式，且二次项系数为1)的函

极值，直接用纯代数法非常困难，因为要平方两次才能去掉根号。但若借助与解析法，将 求函数极值的若干方法 分别视作平面直角坐标系内两点的距离，利用平面图形性质，便可简捷求解。

例8.求函数y= 求函数极值的若干方法 的最小值，其中a、b、c均为正数，

解：在直角坐标系内取点C (0, 求函数极值的若干方法 )、D (c,- 求函数极值的若干方法 )、M (x,0) 、B (c,0)

则y = 求函数极值的若干方法  =∣CM∣+∣MD∣

即为M到C、D两点的距离之和。

由平面图形性质可知当且仅当C、M、D三点共线时距离之和最短，此时M在Mˊ位置上。

由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣

即    求函数极值的若干方法       解之得   x=求函数极值的若干方法

此时 求函数极值的若干方法 =∣CD∣=  求函数极值的若干方法

例9.求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

分析y= 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法

所以 求函数极值的若干方法 可看作平面直角坐标系内的点(x,0)到点求函数极值的若干方法  与点 求函数极值的若干方法 的距离之差。

解: 在直角坐标系内取点A(- 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 )、点B( 求函数极值的若干方法 ,  求函数极值的`若干方法 )、点M(x,0)

则y= 求函数极值的若干方法  =∣AM∣-∣BM∣

即为△ABM的两边之差，由平面图形性质知：

∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函数极值的若干方法 ∣=1

反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1

∴∣y∣＜1

∴-1＜ y ＜1

此法一般适用于为两个二次根式的和、差函数，且根号内为二次函数式，此时可通过配方将其变型为平面直角坐标系内两点之间的距离和与差来计算。这样既省去了平方计算的麻烦，又使式子具有明显的几何意义，从而更方便找出解题方法，将难度较大的问题转化为较简单的问题。在解此轴上的点到另两点的距离和或差，若求和的极值，则当三点共线时有最小值，即为这两点的距离，若为差，则无极值，此时差的绝对值小于这两点的距离，从而可求出函数值域。

例10.求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域

分析：此题既是分式函数，又是三角函数，往往用纯代数法不易达到目的，

但如果将其看作是点 ( 求函数极值的若干方法 )与点(3,2)所在直线的斜率，就不难解决了。

解：设xˊ= 求函数极值的若干方法 ,yˊ=求函数极值的若干方法 ,  则 y=  求函数极值的若干方法

即为平面直角坐标系内点( 求函数极值的若干方法 )与(3,2)所在直线的斜率，

又(xˊ, yˊ)在圆 xˊ 求函数极值的若干方法  + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 上，

故只要求出点(3,2)与圆上每一点连线的斜率范围即可。

设过(3,2)且与圆 xˊ 求函数极值的若干方法  + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 相交的直线方程为

yˊ-2=k (xˊ-3) ,  即  kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0

由点到直线的距离公式知： 求函数极值的若干方法  = 1,

即(-3k+2) 求函数极值的若干方法 =1+k 求函数极值的若干方法   ，  8k 求函数极值的若干方法 -12k+3 = 0

∴k= 求函数极值的若干方法

∴当 求函数极值的若干方法 ≤k≤ 求函数极值的若干方法 时，直线与圆相交

即函数y=求函数极值的若干方法 的值域为[ 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ]

形如f(x) = 求函数极值的若干方法 函数的值域，可将其看作平面内点( 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ),（-b,-d）的斜率来解决 ，而点（求函数极值的若干方法 ）必在二次曲线 求函数极值的若干方法 = 1上，再利用点(-b,-d)的直线与曲线相交的斜率取值范围来解决是一种简便易行的方法。从上例我们可以看出，上

面函数关系也可看成是：求三元函数，多元函数的最大、最小值问题

我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。   如下：

a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；

b)：求出驻点；

c)：结合实际意义判定最大、最小值.

例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。

解答：a)：先建立函数关系,确定定义域

求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题.但是P点位于所给的平面上，故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:

-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

b)：求驻点

解得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知

z=-1

c)：结合实际意义判定最大、最小值在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。

由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1).

的若干方法 。

极限求法总结 第8篇

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的 ，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件 ，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者 ，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限 ，而是需将函数进行恒等变形 ，使其符合条件后 ，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。 例 1

求 lim( x 2 3x + 5).

x→ 2

解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5

= (lim x) 2 3 lim x + lim 5

= 2 2 3 2 + 5 = 3.

x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2

极限求法总结 第9篇

数分求极限的方法总结

解决极限的方法有那些？各位都知道，求数的极限一直是我们的难点，所以为大家带来了数分求极限的方法。

数分求极限的方法总结

1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近xxx，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近xxx）。

3、xxx公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！

5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！

6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。

8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右极限的.方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）

11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！

16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近xxx时候，在分子上f（x加xxx个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！

函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：

1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）；

2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致；

3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系；

4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点；第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）。

极限求法总结 第10篇

如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。 2.利用有理化分子或分母求函数的极限

a.若含有，一般利用去根号 b.若含有，一般利用，去根号 3.利用两个重要极限求函数的极限 4.利用无穷小的性质求函数的极限

性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小

性质3：有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小 5.分段函数的极限

求分段函数的极限的充要条件是: 6.利用抓大头准则求函数的极限 其中为非负整数. 7.利用洛必达法则求函数的极限 对于未定式“ ”型，“ ”型的极限计算，洛必达法则是比较简单快捷的方法。

极限求法总结 第11篇

求数列极限方法总结

极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用xxx公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用xxx公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

与极限计算相关知识点包括：

连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；

可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验 存在的`定义是极限 存在；

渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；

多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

1.抽象数列求极限

这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。

2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：

利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。

利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。

3.项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法：

利用特殊级数求和法。如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

利用幂级数求和法。若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

利用定积分定义求极限。若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

利用夹逼定理求极限。若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解。

求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

极限求法总结 第12篇

应用第一重要极限时 ，必须同时满足两个条件：

① 分子、分母为无穷小 ，即极限为 0 ；

② 分子上取正弦 的角必须与分母一样。

应用第二重要极限时 ，必须同时满足四个条件：

①带有“1”；

② 中间是“+ ”号 ；

③“+ ”号后面跟无穷小量 ；

④指数和“+ ”号后面的数要互为倒数。

例1：

求lim(arcsinx/x),x趋xxx

解A.令x=sint,则当t 趋xxx时,x趋xxx,且arcsinx=t

所以 (arcsinx/x),x趋xxx.=lim(t/sint),t趋xxx=1

极限求法总结 第13篇

考研数学 十种方法教你求极限

1、利用定义求极限。

2、利用xxx准则来求。

xxx准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的'自然数m有|xn-xm|<ε.

3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。

如：lim(x+x^)^(x+1)^

=lim(x^)(1+1/x^)^(x^)(1+1/x)^

=1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)

可令x=y^mn

得：＝n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim sinx/x=1

x->0

(2)lim (1+1/n)^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的。

10、用xxx公式来求，这用得也很经常。

极限求法总结 第14篇

常用方法:

①当数列具有单调性时：先证明数列收敛（单调有界准则），然后令 \lim_{n \rightarrow ∞}{x_n}=A ，

等式 x_{n+1}=f(x_n) 两端取极限得A=f(A)，由此求得极限A

②当数列不具有单调性或单调性很难判定时：

先令\lim_{n \rightarrow ∞}{x_n}=A ，然后等式 x_{n+1}=f(x_n) 两端取极限得A=f(A)，由此求得极限A，得到极限初步结果，最后再证明令\lim_{n \rightarrow ∞}{x_n}=A .

证明数列极限的“通法框架”：

一个数列极限为A在图形上（即数列的散点图）可表示为①②③三种形态，对①②③三种形态来说，均可使用夹逼定理进行计算，但是对于①②两种形态的数列来说有更为简便的证明方法，即是单调有界准则，而对于③这一种形态的数列来说只能运用夹逼定理进行证明；

我们可以看到数列的极限A在数列的有界性中扮演着重要角色，所以我们需要先求出A。这一步其实很简单，我们可以先假设数列极限存在并为A，利用已知条件解方程求出A即可，之后再证明数列极限的存在就可以了（因为我们是先假设极限存在的）。求出A之后一切就都明了了，我们可以求出数列的前几项的具体数值，然后与A进行比较，就可以知道此数列是①②③中的哪种形态了。然后所有的东西就已经陈列在我们面前：是运用夹逼还是单调有界？是单调增还是减？以及数列的界限在哪也很清楚了。然后我们就可以猜测数列的界限了，当然猜完之后我们还需要证明，也就是许多教科书上运用的归纳法，总的来说单调性的证明就是先猜后证；

单调性的证明方法就是：邻项相减、相除、求导；

当我们判断出所求数列属于①②③中的哪种形态时，就可以知道应该使用哪种方法了。对①②③来说均可以使用夹逼定理；对①②来说既可以使用夹逼也可以使用单调有界，但是具体哪个证明方法更简单，就因题而异了；

第一步：先假设极限存在并设为A，然后利用已知条件求出A（通常是解方程），继而判断出所求数列属于①②③中的哪种形态；第二步：由第一步判断出所求数列的形态后，就可以根据数列形态猜测数列的界限了，然后运用归纳法对数列界限进行证明；第三步：当所求数列属于①②形态时既可以运用夹逼亦可以运用单调有界准则，至于哪个更简单可以自主选择；所求数列属于③形态时，只能运用夹逼；第四步：单调性的证明（只有数列是①②形态时才进行单调性证明），考研考的都是这种，方法是邻项相减、相除、求导；

极限求法总结 第15篇

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2、利用xxx准则来求。

xxx准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的自然数m有|xn-xm|

3、利用极限的运算性质及已知的.极限来求。

如：lim（x+x^）^（x+1）^

=lim（x^）（1+1/x^）^（x^）（1+1/x）^ =1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim （x^1/m-1）/（x^1/n-1）

可令x=y^mn

得：=n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim sinx/x=1

x->0

（2）lim （1+1/n）^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的，使用过程中大家一定要注意使用条件。

10、用xxx公式来求，这用得也很经常。

最后，希望考生们能够准确掌握各类方法对应的题目类型，取得考研成功。

极限求法总结 第16篇

归结原则设f在U0x0;内有定义，limfx存在的充要条件是：对任何含于xx0

U0x0;且以x0为极限的数列xn，极限limfxn都存在且相等． n

例1 11求极限lim12． nnn

x1分析 利用复合函数求极限，令ux12x

x1解 令ux12x

nnnx2x1，vxx1求解． xx2x1，vxx1则有 xlimuxe；limvx1，

由幂指函数求极限公式得

vx11lim12limuxe， xxxxx

极限求法总结 第17篇

洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：

设函数f(x)和F(x)满足下列条件：

（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;

（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等xxx;

（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大

则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))

例1：

1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2

xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)

原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x

对分子分母同时求导（洛必达法则）

(tgx) = 1 / (cosx)^2

(x) = 1

原式 = lim 1/(cosx)^2

当 x --> 0 时,cosx ---> 1

原式 = 1

极限求法总结 第18篇

(一) 四则运算法则

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三) 利用xxx公式求极限

利用xxx公式求极限，也是考研中常见的方法。xxx公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

(四) 定积分定义

考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。

极限求法总结 第19篇

1.验证定义。：“猜出”极限值，然后再验证这个值确实是极限值/验证收敛，再由极限唯一性可得。

2.利用收敛定理、两边夹、关于无穷小/大的一些结果，四则运算、复合（形式上的“换元公式”）、函数极限的序列式定义。

从1+2得到的一些基本的结果出发，利用3就可以去完成一大堆极限运算了。

先从函数极限开始：

3.利用初等函数的连续性，结果就是把求极限变成了求函数值。

4.关于P(x)/Q(x),P、Q是两个多项式。如果Q（a）不等xxx，见4；如果Q（a）等xxx但P（a）不等xxx，Infinity；如果Q（a）=P(a)=0，利用综合除法，P、Q均除以(x-a)，可以多除几次直到“Q”不能被整除，这时候就转化为前面的情形。

5.其它0/0：利用“换元”尽一切可能地转化为几种基本极限中的一种或多种。当然这里有一大杀器L'Hospital法则，不过注意它不能用来求sin x/x（x趋xxx），因为：L'Hospital法则需要sin的导数，而求出lim sin x/x——求sinx的导数。

关于序列极限；

，利用a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+ba^(n-2)+……+b^(n-1)]以及加减辅助项，尽量把减转化为加。

7.如果是递推形式，先利用递推式求出极限（如果有）应该满足的方程，求出极限，然后验证序列收敛。或者利用压缩映像。

极限求法总结 第20篇

tanxsinx例 8 求极限lim． x0sinx3

解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx

sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02

xtanxsinx11．

注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的`因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出

limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3

则得到的式错误的结果．

附 常见等价无穷小量

sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2

arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，

ln1x~xx0，1x1~xx0．

极限求法总结 第21篇

常用方法：

①凑基本极限 lim[1+\varphi(x)]^{\frac{1}{\varphi(x)}}=e，其中lim\varphi(x)=0（\varphi(x)≠0）

②改写成指数 lim[f(x)]^{g(x)}=\lim_{}{e}^{g(x)lnf(x)}，用洛必达法则；

③利用结论：若lim\alpha(x)=0,lin\beta(x)=∞,且lim\alpha(x)lim\beta(x)=A,则lim[1+\alpha(x)^{\beta(x)}]=e^A

极限求法总结 第22篇

常用方法：①洛必达法则

②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

③基本极限： \lim_{n \rightarrow∞}{\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}}}

当n=m时，极限等于 \frac{a_m}{b_m} ,当n＜m时，极限等xxx，当n>m时，极限等于+∞.

极限求法总结 第23篇

1．fxlimxx0fxfx0， xx0

fx0hfx0． h2．fx0limh0

其中h是无穷小，可以是xxxx0，x的函数或其他表达式．

求极限x0p0,q0．

0 分析 此题是x0时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母0

中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．

解 令f

x 则

x0fxf0

lim x0gxg0x0

f0g0p． q

极限求法总结 第24篇

兴化市林潭学校四（1）刘航

学习“倍数和因数”这一单元后，知道了一个数的倍数是无限的，一个数的因数是有限的。如何找一个数的因数呢？根据老师的方法，我采用一一对应法。

例如，找36的因数，就一组一组地排出乘积是36的两个数，为了做到不重复、不遗漏，利用乘法算式，1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36，这样36的因数有（1，2，3，4，6，9，12，18，36）共9个；也可以利用除法算式，一组一组地找，碰到相同的一对因数时，只要写一个。

但在要找出一个较大数的所有因数时，往往心中无底，不知这个较大数的因数是否找全。老师强调过，找一个数的因数，哪怕是遗漏一个也不行。我就很想找一个方法检查是不是找全。无独有偶，一次在学校图书室，发现一本《小学生数学报10年精选本》（丛书）《学习辅导篇》有一篇《怎样算一个合数的约数的方法》。文中介绍说：要求一个合数的约数的个数，可以先把这个数分解质因数，然后把不同的质数的个数加1连乘起来，得到的结果就是这个合数的约数个数。“约数” 、“质数”老师说过就是我们现在所学的“因数” 、“素数”。 “分解质因数”我不懂，后来在老师的`指导下，知道了“分解质因数”就是将一个合数分解成几个素数相乘的形式。

例如，找75的约数的个数

先将75分解质因数：75=3×5×5

75是由1个3和2个5相乘得到的，3有一个即（1+1），5有2个即（2+1）75的约数的个数：（1+1）×（2+1）=2×3=6（个）

检验一下36的因数：36=2×2×3×3，2个2，2个3，（2+1）×（2+1）=9

（个）

现在，我再也不担心找不全一个数的所有因数了。看来，只要我们做学习上的有心人，就能解决很多数学问题。