线性方程组总结(实用5篇)

线性方程组总结 第1篇

对于未知数和方程数相等（均为）的特殊情形

我们可以通过克拉默法则（xxx法则），可以利用行列式解出向量组中各个分量的值。

则方程组有惟一解：

其中：

对于元线性方程组的解的情况，可根据方程组的类型以及解的数量，归纳出如下六条性质：

性质1   解释：两个矩阵的秩，就是把这两个矩阵“拼”在一块形成的一个大矩阵的秩：

性质2    

性质3    

性质4    

性质5    解释：此处的“0”是零向量，不是数！

性质6    解释：此处的””是一个非零矩阵，并且列数至少为2。

线性方程组总结 第2篇

1.定义：如果向量组 \alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{s} 中有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组线性相关（是关于一个向量组内部关系的定义）

\Leftrightarrow 如果 \exists k_{1},k_{2},...,k_{s} 不全为零， s,t,k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s}=0 ，那么向量组 \alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{s} 线性相关

2.性质：①任何一个包含零向量的向量组必定线性相关

②两个向量组线性相关的几何意义是它们共线，三个是共面

③如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关（部分相关→整体相关）

④任意n+xxx维向量必线性相关

⑤如果向量组\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r} 可以经 \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{s} 线性表出； r>s

\Rightarrow \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r} 必线性相关

1.定义：如果由 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s}=0 可以推出 k_{1}=k_{2}=...=k_{s}=0 ，那么向量组

\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{s} 线性无关

向量组线性无关的充分必要条件是xxx线性方程组 a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{s}x_{s}=0只有零解

2.性质：①两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量

②如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空部分组也线性无关（整体无关→部分无关）

③如果向量组\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r} 可以经\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{s} 线性表出；\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}线性无关

\Rightarrow r\leq s

xxx向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与所含向量个数相同

证明线性相关/线性无关性

①定义②反证法

线性方程组总结 第3篇

最重要的性质——不管从向量还是矩阵的角度，都有：

秩小于n，线性相关；秩=n，线性无关

定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩

性质： ①等价向量组必有相同的秩（补充题4）

②如果向量组Ⅰ可以经向量组Ⅱ线性表出，那么Ⅰ的秩不超过Ⅱ的秩（习题12）

③向量组 \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} ； \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t} ； \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s},\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t} 的秩分别为

r_{1},r_{2},r_{3} ，则max{r_{1},r_{2}}≤r_{3}≤r_{1}+r_{2} （补充题6）

1.定义：矩阵中最高阶非零子式的阶数，零矩阵的秩为0

k阶子式：在矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的 k^{2} 个元素

*的3阶子式 A=\left( \begin{array}{cc} 1&1&3&1\\ 0&2&-1&4\\ 0&0&0&5\\ 0&0&0&0 \end{array} \right) 选1，2，3行和1，2，4列，相应的3阶子式为 \left|\begin{array}{cc} 1&1&1\\ 0&2&4\\ 0&0&5\\ \end{array} \right|=10\ne0

2.性质：①矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩

②若A有一个k阶子式不为0 \Leftrightarrow R(A)\geq k

（矩阵秩的定义是最高阶非零子式，拿定义中的eg.为例，A的三阶子式不为零，那么它的秩至少为3）

③若A所有的s阶子式都为0 \Leftrightarrow R(A)\leq s-1

④ |A_{n\times n}|=0\Leftrightarrow A 不可逆 \Leftrightarrow A的行向量（列向量）线性相关 \Leftrightarrow R(A)

\Leftrightarrow\exists B_{n\times n}\ne0,s,t,AB=0

* R(A) 意味着 Ax=0 有无穷多解， Ax=b 有无穷多解或者无解

（矩阵的秩是最高阶非零子式，如果 R(A) ，那么最高阶非零子式也就是矩阵的行列式一定为零）

⑤ |A|\ne0\Leftrightarrow A 可逆 \Leftrightarrow A的行向量（列向量）线性无关 \Leftrightarrow R(A)=n

* R(A)=n 意味着 Ax=0 有且只有唯一零解， Ax=b 有唯一解

3.秩不等式：① R(A_{s\times n})+R(B_{n\times s})-n≤R(AB)≤min{R(A),R(B)} (Frobenius不等式）

*右边的不等式说明矩阵的秩越乘越小

②A,B为n*n矩阵.如果 AB=0 ，那么 R(A)+R(B)≤n

*②为①式Frovenius不等式 R(AB)=0 时的特例

③分块矩阵 \left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D\\ \end{array} \right) 的秩 \geq R(A),R(B),R(C),R(D) (分别大于各小分块矩阵的秩）

④分块矩阵 \left( \begin{array}{cc} A&O\\ O&B\\ \end{array} \right) 的秩 =R(A)+R(B)

⑤分块矩阵 \left( \begin{array}{cc} O&A\\ B&C\\ \end{array} \right) 的秩 \geq R(A)+R(B)

线性方程组总结 第4篇

\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\......\\ a_{n1}x_{n}+a_{n2}x_{n}+...+a_{sn}x_{n}=b_{n} \end{array}\right.

为了简化，令 A=(a_{ij})_{s\times n} 表示方程组的系数, x=x_{i} 表示方程组的未知量, b=b_{i} 表示常数项,则可将上式转化为 Ax=b

* Ax=b 为非xxx线性方程组， Ax=0 为xxx线性方程组

非xxx线性方程组的解=xxx线性方程组的解+特解

线性方程组总结 第5篇

Ax=0 有非零解 \Leftrightarrow r(A)

当 Ax=0 有非零解时， \eta_{1},\eta_{2},...,\eta{s}为Ax=0 的解

若(1) \eta_{1},\eta_{2},...,\eta{s}线性无关

(2)Ax=0 的任意解都可以表示成\eta_{1},\eta_{2},...,\eta{s}的线性组合

\Rightarrow\eta_{1},\eta_{2},...,\eta{s} 为Ax=0 的基础解系

*从线性空间的角度看，这个基础解系是一种特殊的基（就理解为基），把线性空间局限到只研究解空间，此时基就退化为基础解系（注意基础解系的两个条件，线性无关，线性表示）

对于文中开头的非xxx线性方程组 Ax=b (A=(a_{ij})_{s\times n} 表示方程组的系数, x=x_{i} 表示方程组的未知量, b=b_{i} 表示常数项)，令 \alpha_{i}=(\alpha_{1i},\alpha_{2i},...,\alpha_{si})^{T} , b=(b_{1},b_{2},...b_{n})^{T}

Ax=b 有解 \Leftrightarrow b 可由 \alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n} 线性表示

Ax=b 有唯一解 \Leftrightarrowb 可由 \alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n} 线性表示且表法唯一

\Leftrightarrowb 可由 \alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n} 线性表示且\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}线性无关

*Ax=b 有唯一解当且仅当A可逆，可以理解为A可逆是前提条件，此时 x=A^{-1}\cdot b

Ax=b 有无穷多解 \Leftrightarrow \alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n} 线性相关

若Ax=b 有解，令 \gamma 为Ax=b中任意解， \gamma=\gamma_{0}+\eta ，其中， \gamma_{0} 为Ax=b 的特解， \eta 为通解（基础解系的线性组合）