函数对称性公式大总结(精选3篇)

函数对称性公式大总结 第1篇

设 a＞0

\color{green}{（1）} 若 f(x) 为 \color{red}{偶函数} ，且 \color{red}{f(a+x)=f(a-x)} （即关于直线 x=a 对称），则 f(x) 为周期函数，最小正周期为 \color{red}{T=2a} .

\color{red}{证明：}

用 x+a 替换 \color{red}{f(a+x)=f(a-x)} 得：\color{red}{f(x+2a)=f(-x)} ，

又f(x) 为 \color{red}{偶函数}，所以 \color{red}{f(-x)=f(x)} 即 \color{red}{f(x+2a)=f(x)} ，因此 \color{red}{T=2a} .

\color{green}{（2）} 若 f(x) 为 \color{red}{奇函数} ，且 \color{red}{f(a+x)=f(a-x)} （即关于直线 x=a 对称），则 f(x) 为周期函数，最小正周期为 \color{red}{T=4a} .

\color{red}{证明：}

用 x+a 替换 \color{red}{f(a+x)=f(a-x)} 得：\color{red}{f(x+2a)=f(-x)} ，

又f(x) 为 \color{red}{奇函数}，所以 \color{red}{f(-x)=-f(x)} 即 \color{red}{f(x+2a)=-f(x)} ，再由函数的周期性及其推广\color{green}{（2）} 可知，\color{red}{T=4a} .

\color{green}{例题1：}

定义在 R 上的函数 f\left( x \right) 满足 f\left( x \right) = \left\{ \begin {array}{rcl} \log_2(1-x),\ \ \ \ \ \ x\leq0\\ f(x-1)-f(x-2),\ \ \ \ \ \ x>0\end {array}\right. ，则 f(2021) 的值为

\color{red}{解：}

当 x>0 时， f(x)=f(x-1)-f(x-2) 由函数的周期性及其推广\color{green}{（9）} 可知，\color{red}{T=6} ，所以 f(2021) f(336\times6+5) =f(5) ；

当 x\leq0 时， f(-1)=1、f(0)=0 ，

f(1)=f(0)-f(-1) =-1 ，

f(2)=f(1)-f(0) =-1 ，

f(3)=f(2)-f(1) =0 ，

f(4)=f(3)-f(2) =1 ，

f(5)=f(4)-f(3) =1 .

\color{green}{注：}

此处不能直接利用周期性得出 f(5)=f(-1) （虽然这里有点巧合，的确相等了），原因在于，当 x>0 时 f\left( x \right) 才存在周期性，例如f(4) 就不等于 f(-2) 。

\color{green}{例题2：}

已知 f(x) 是定义域为 (-∞, +∞) 的奇函数，满足 f(1-x)=f(1+x) ．若 f(1)=2 ，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=

A．-50

B．0

C．2

D．50

\color{red}{解：}

因为f(x) 是 R 上的奇函数，所以

f(-1)=-f(1)=-2 ，

f(0)=0 ，

f(1)=2 ，

因为 f(1-x)=f(1+x)，所以f(x) 关于直线 x=1 对称，所以

f(2)=f(0)=0 ,

f(3)=f(-1)=-2 ,

由函数的奇偶性与周期性的关系\color{green}{（2）} 可知，\color{red}{T=4} ，所以

f(4)=f(0)=0 ,

所以一个周期内f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，

因此f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50) =f(1)+f(2)=2 .

函数对称性公式大总结 第2篇

令a,b均不为零，若：

1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|

2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|

3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|

4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|

5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|

这里只对第2~5点进行解析。

第2点解析：

令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

第3点解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

①f（x）=-f（x+a）……

②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函数最小正周期T=|2a|

第4点解析：

f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）

又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

∴函数最小正周期T=|2a|

第5点解析：

∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

∴1f（x）=2/[f（x）+1]移项得f（x）=12/[f（x+a）+1]

那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右边通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，

由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）

∴函数最小正周期T=|4a|

扩展阅读：函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

（一）同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）

1、奇偶性：

（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f（x）f（x）0

（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式f（x）f（x）

2、奇偶性的拓展：同一函数的对称性

（1）函数的轴对称：

函数yf（x）关于xa对称f（ax）f（ax）

f（ax）f（ax）也可以写成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）

若写成：f（ax）f（bx），则函数yf（x）关于直线x称

（ax）（bx）ab对22证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，通过f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），

即点（2ax1,y1）也在yf（x）上，而点（x1,y1）与点（2ax1,y1）关于x=a对称。得证。

说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。

∵（ax1,y1）与（ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

f（ax）f（ax）

∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

f（x）f（2ax）

∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

f（x）f（2ax）

（2）函数的点对称：

函数yf（x）关于点（a,b）对称f（ax）f（ax）2b

上述关系也可以写成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b

若写成：f（ax）f（bx）c，函数yf（x）关于点（abc,）对称2证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通过f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以点（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而点（2ax1,2by1）与（x1,y1）关于（a,b）对称。得证。

说明：关于点（a,b）对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如（ax）与（ax）之和为2a。

（3）函数yf（x）关于xxx对称：假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c（x,y）=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c（x,y）x2y240它会关于y=0对称。

（4）复合函数的奇偶性的性质定理：

性质1、复数函数y＝f[g（x）]为偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]。复合函数y＝f[g（x）]为奇函数，则f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

性质2、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a）；复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

性质3、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则y＝f（x）关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则y＝f（x）关于点（a,0）中心对称。

总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

总结：x的系数一个为1，一个为-1，f（x）整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。

总结：x的系数同为为1，具有周期性。

（二）两个函数的图象对称性

1、yf（x）与yf（x）关于X轴对称。

证明：设yf（x）上任一点为（x1,y1）则y1f（x1），所以yf（x）经过点（x1,y1）

∵（x1,y1）与（x1,y1）关于X轴对称，∴y1f（x1）与yf（x）关于X轴对称.注：换种说法：yf（x）与yg（x）f（x）若满足f（x）g（x），即它们关于y0对称。

函数对称性公式大总结 第3篇

\color{green}{特殊：}

\color{green}{（1）} 满足条件 \color{red}{f(-x)＋f(x)=0} 的函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(0，0)} 对称；

\color{red}{证明：} 由 \color{red}{f(-x)＋f(x)=0} 可知 f(x) 为奇函数，故函数 y=f(x) 的图象关于原点对称，即关于点 \color{red}{(0，0)}\color{red}{(0，0)} 对称；

\color{green}{（2）} 满足条件 \color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=0} 的函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(a，0)} 对称；

\color{red}{证明：} 设函数 y=f(x) 的图象上有两点 A 、 B ，坐标分别为 \left( \color{purple}{ a-x,f(a-x)} \right) 、 \left( \color{purple}{ a+x,f(a+x)} \right) ，则由中点坐标公式可知： A 、 B 两点的中点坐标为 \left( \color{purple}{\frac{(a-x)+(a+x)}{2}, \frac{f(a-x)+f(a+x)}{2}} \right) 由条件 \color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=0} 知，A 、 B 两点的中点坐标为\color{red}{(a，0)}，所以A 、 B 两点关于点 \color{red}{(a，0)} 对称，由于 x 的任意性，则函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(a，0)}对称；

\color{green}{（3）} 满足条件 \color{red}{f(2a-x)＋f(x)=0} 的函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(a，0)} 对称；

\color{red}{证明：}

用 a+x 替换 \color{red}{f(2a-x)＋f(x)=0} 中的 x 得：\color{red}{f(a-x)＋f(a+x)=0}，则接下来同\color{green}{（2）}.

\color{green}{（4）} 满足条件 \color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=0} 的函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(\frac{a+b}{2},0)} 对称；

\color{red}{证明：} 用 \frac{a-b}{2}+x 替换 \color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=0} 中的 x 得： \color{red}{f(\frac{a+b}{2}-x)+f(\frac{a+b}{2}＋x)=0} ，则接下来同\color{green}{（2）}.

\color{green}{（5）} 满足条件 \color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=2b} 的函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(a，b)} 对称；

\color{red}{证明：} 设函数 y=f(x) 的图象上有两点 A 、 B ，坐标分别为 \left( \color{purple}{ a-x,f(a-x)} \right) 、 \left( \color{purple}{ a+x,f(a+x)} \right) ，则由中点坐标公式可知： A 、 B 两点的中点坐标为 \left( \color{purple}{\frac{(a-x)+(a+x)}{2}, \frac{f(a-x)+f(a+x)}{2}} \right) 由条件 \color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=2b} 知，A 、 B 两点的中点坐标为\color{red}{(a，b)}，所以A 、 B 两点关于点 \color{red}{(a，b)} 对称，由于 x 的任意性，则函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(a，b)}对称；

\color{green}{（6）} 满足条件 \color{red}{f(2a-x)＋f(x)=2b} 的函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(a，b)} 对称；

\color{red}{证明：}

用 a+x 替换 \color{red}{f(2a-x)＋f(x)=2b} 中的 x 得：\color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=2b}，则接下来同\color{green}{（5）}.

\color{green}{一般：}

\color{green}{（7）} 满足条件 \color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=c} 的函数 y=f(x) 的图象关于点 \color{red}{(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})} 对称；

\color{red}{证明：} 用 \frac{a-b}{2}+x 替换 \color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=c} 中的 x 得： \color{red}{f(\frac{a+b}{2}-x)+f(\frac{a+b}{2}＋x)=c} ，则接下来同\color{green}{（5）}.

\color{green}{注：}

函数图像自身中心对称，将题目中的等式化成形式： \color{red}{f(\ \ \ )+f(\ \ \ )=c} （c为常数 ），两括号里的 x 一定是\color{red}{系数相同}且\color{red}{一正一负}的；对称中心为\color{red}{(\frac{两括号中的相加，消去x}{2},\frac{c}{2})} .