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恒磁场总结(通用5篇)

总结
2024-03-14 09:37:07
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恒磁场总结第1篇

由经典电子理论，金属导体中的电流是由大量电子作定向运动形成的，电流产生的磁场本质上是运动电荷在其周围激发的磁场

由xxx律知电流元产生的磁场为：

\mathrm{d} \vec{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{I \mathbf{d} \vec{l} \times \hat{\vec{r}}}{r^{2}}

\begin{aligned}\because I & =\dfrac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t} \Rightarrow I \mathrm{~d} \vec{l}=\dfrac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t} \mathrm{~d} \vec{l}=\mathrm{d} q \dfrac{\mathrm{d} \vec{l}}{\mathrm{~d} t}=\mathrm{d} q \vec{v} \\\therefore \mathrm{d} \vec{B} & =\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{I \mathrm{~d} \vec{l} \times \overline{\vec{r}}}{r^{2}}=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{\mathrm{d} q \vec{v} \times \overline{\vec{r}}}{r^{2}}=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{(q \mathrm{~d} N) \vec{v} \times {\vec{r}}}{r^{2}}\end{aligned}

d N 为电流元 I d l 中的运动电荷总数(可以说和定律有一个替换关系： Id\vec{l}=qdN\vec{v} )

一个以速度 v 运动的电荷产生的磁场为：

\vec{B}=\dfrac{d \vec{B}}{d N}=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{q \vec{v} \times \hat{\vec{r}}}{r^{2}}

这里的替换关系 \boldsymbol{I} \mathbf{d} \vec{l} \rightarrow \boldsymbol{q} \overrightarrow{\boldsymbol{v}}

电荷$q$的电场： \vec{E}=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \dfrac{q}{r^{2}} \hat{\bar{r}}

电荷$q$的磁场： \vec{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{q \vec{v} \times \hat{\vec{r}}}{r^{2}}

那么有： \vec{B}=\dfrac{\vec{v} \times \vec{E}}{c^{2}}

恒磁场总结第2篇

磁感应强度 B 的定义:

方向 : 规定磁场中某点处小磁针 N 极所指的方向。

大小： B=\dfrac{F}{q v \sin \varphi}

电与磁可以相互转换

运动电荷在磁场中的受力(洛伦兹力)： \boldsymbol{F}=q \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}

普遍情况下的洛伦兹力（考虑电场）： \boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})

磁感线的性质：

(1)磁感应线不相交。

(2)磁感应线是闭合曲线, 或从无限远伸向无限远。

(3)磁感应线环绕电流时, 它们的方向之间服从右手螺旋定则。

(4)磁感应线密集处, 磁感应强度大; 磁感应线稀疏处, 磁感应强度小。

\vec{v}_{0} / / \vec{B} 作匀速直线运动。

\vec{v}_{0} \perp \vec{B} 作圆周运动。

q v B=m \dfrac{v^{2}}{qB}, T=\dfrac{2 \pi R}{qB} , 可求出 R, T 。

\vec{v}_{0} 与 \vec{B} 成 \theta 角，作螺旋线运动。

回旋半径: R=\dfrac{m v_{\perp}}{q B}=\dfrac{m v \sin \theta}{q B}

回旋周期： T=\dfrac{2 \pi R}{v_{\perp}}=\dfrac{2 \pi m}{q B}

螺线的螺距: h=v_{//} T=\dfrac{2 \pi m}{q B} v_{//}=\dfrac{2 \pi m}{q B} v \cos \theta

1. 回旋加速器

粒子引出的速率： v=\dfrac{q B R}{m} (由 R=\dfrac{m v}{q B} 求得 )

粒子的动能 : E_{k}=\dfrac{1}{2} m v^{2}=\dfrac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}

2. xxx应

现象：一金属载流导体块，放在均匀磁场中，当磁场方向与电流方向垂直时，则在与磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差————霍耳效应。

\begin{array}{c}U_{A A^{\prime}}=K \frac{I B}{d} \quad K=\frac{1}{n q}\end{array}

其中 K 为xxx系数

以下是证明：

电场力和洛伦兹力平衡：

E_{\mathrm{H}}=\dfrac{F_{\mathrm{e}}}{q}=\dfrac{F_{\mathrm{L}}}{q}=v B

薄片厚度为 b ，xxx电压：

U_{A A^{\prime}}=E_{\mathrm{H}} b=v B b

又因为 I=nqsv ，则有：

U_{A A^{\prime}}=\dfrac{1}{n q} \dfrac{I B b}{S}

那么也就有： U_{A A^{\prime}}=\dfrac{1}{n q} \dfrac{I B}{d}

恒磁场总结第3篇

规定：

1. 磁感应线上任意一点沿其正向的切向为该点 \vec{B} 的方向；

2. 垂直于 \vec{B} 的单位面积上通过的磁感应线的条数等于该处 \vec{B} 的大小

性质：

1. 每一条磁感应线都是闭合曲线

2. 任何磁场中，磁感应线都不会相交

3. 每一闭合曲线都与电流相套连，二者相互嵌套时服从右手定则。

右手定则：直流电流：拇指 I ，四指 B ;

环流电流：四指 I ，拇指 B ;

通过磁场中某一曲面的磁感应线的条数叫磁通量

d \Phi_{m}=B d S_{\perp}=B d S \cos \theta=\vec{B} \cdot d \vec{S}

若闭合曲面： \Phi_{m}=\oint_{S} \mathbf{d} \Phi_{m}=\oint_{S} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{S}

单位：xxx( Wb,1Wb=1T\cdot m^2 )

通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零

\oint_{S} \overrightarrow{\boldsymbol{B}} \cdot \mathbf{d} \overrightarrow{\boldsymbol{S}}=\mathbf{0}

说明其为无源场

在稳恒电流的磁场中，磁感应强度$\vec{B}$沿任何闭合路径$L$的线积分( 环流 ) 等于路径$L$内所包围的电流的代数和的 \mu_0 倍。

\oint_{L} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l}=\mu_{0} \sum_{L \text { 内 }} I_{i}

规定：

1. 电流的正负关系，符合右手螺旋为正，反之亦然

2. \vec{B} 是 L 内、外所有电流激发的总磁场。但只有被 L 所围的 I 对 \vec{B} 的环流有贡献

3. 安培环路定理仅适用于闭合恒定电流回路

4. 所谓包围: 以 L 为边界作任意曲面, I 一定与此面相交

5. 安培环路定理揭示稳恒磁场为有旋场

1.无限长载流圆柱形导体的磁场

圆柱外一点：

\begin{array}{c}\oint \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=B \oint \mathbf{d} l=B 2 \pi r=\mu_{0} I \\B=\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \quad(r>R)\end{array}

圆柱内一点：

\begin{array}{c}\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l}=B 2 \pi r=\mu_{0} \dfrac{I}{\pi R^{2}} \pi r^{2}=\mu_{0} \dfrac{r^{2}}{R^{2}} I \\B=\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi R^{2}} r \quad(r

2无限长载流直螺线管内、外的磁场

\oint_{a b c d} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=\int_{a}^{b} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{b}^{c} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{c}^{d} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{d}^{a} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}

显然 \int_{a}^{b} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=\int_{c}^{d} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=0

那么有：

\int_{b}^{c} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l}+\int_{d}^{a} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l}=\mu_{0} I=0

-B_{b c} l+B_{d a} l=\mathbf{0}

由前文结论 B_{b c}=\mu_{0} n I

B_{d a}=B_{b c}=\mu_{0} n I

那么也就说明 B_{\text {内 }}=\mu_{0} n I

无限长载流直螺线管内的磁场为均匀磁场

再取环路 bcef

\oint_{b c e f} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=\int_{b}^{c} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{c}^{e} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{e}^{f} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{f}^{b} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}

\int_{c}^{e} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=\int_{f}^{b} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=\mathbf{0}

\int_{b}^{c} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{e}^{f} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=-\mu_{0} n I l

-{B}_{b c} {l}+{B}_{e f} {l}=-\mu_{0} {n} {l}

B_{e f}-B_{b c}=B_{e f}-\mu_{0} n I=-\mu_{0} n I

上式中的 B_{bc}=-\mu_0 nI

\boldsymbol{B}_{\text {外 }}=\mathbf{0}

3螺绕环内、外的磁场

环内：

\oint_{L} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}=\oint_{L} B \mathbf{d} l=B 2 \pi r=\mu_{0} N I

B=\dfrac{\mu_{0} N I}{2 \pi r}

环外：

B=0

4无限大平面电流的磁场

由分析知磁场分布为面对称。平面两侧的磁场线为与面平行的水平直线族，面电流密度为 j

\begin{aligned}\oint_{L} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}= & \int_{a}^{b} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{b}^{c} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l} +\int_{c}^{d} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}+\int_{d}^{a} \vec{B} \cdot \mathbf{d} \vec{l}\end{aligned}

B l+0+B l+0=\mu_{0} j l

B=\dfrac{\mu_{0} {j}}{2}

我们可以发现其和无限大平板的电场强度类似

恒磁场总结第4篇

则有 R = m v 0 q B R=\dfrac{mv_0}{qB} R=qBmv0

粒子的回旋周期为 T = 2 π m q B T=\dfrac{2\pi m}{qB} T=qB2πm

载流导线在磁场中会受到安培力的作用

F = ∫ l d F = ∫ l I d l B F=\int_ldF=\int_lIdlB F=∫ldF=∫lIdlB

处于磁场中的物质会受到磁场的影响，一切能被磁场磁化的物质称为磁介质，磁化的磁介质也会对磁场造成影响，磁介质被磁化产生的附加磁场为B‘

则该点的磁感应强度为 B = B 0 + B ′ B=B_0+B' B=B0+B′

顺磁质被磁化后会增强磁场，逆磁质被磁化后会削弱磁场

磁化强度：磁介质内的磁矩发生了变化

M = ∑ m i Δ V M=\dfrac{\sum m_i}{\Delta V} M=ΔV∑mi

磁介质被磁化后会在边缘形成近似的磁化电流，这个电流会对原磁场产生影响

利用安培环路定理有 ∮ l B ⋅ d l = μ 0 ∑ I + μ 0 ∑ I s \oint_lB·dl=\mu_0\sum I+\mu_0\sum I_s ∮lB⋅dl=μ0∑I+μ0∑Is 由根据磁化电流面密度和磁化强度有如下关系 M = i s M=i_s M=is

∮ M ⋅ d l = I s \oint M·dl=I_s ∮M⋅dl=Is

则有 ∮ l B ⋅ d l = μ 0 I + μ 0 ∮ l M ⋅ d l \oint_l B·dl=\mu_0I+\mu_0\oint_lM·dl ∮lB⋅dl=μ0I+μ0∮lM⋅dl

∮ l ( B μ 0 − M ) ⋅ d l = μ 0 ∑ I \oint_l(\dfrac{B}{\mu_0}-M)·dl=\mu_0\sum I ∮l(μ0B−M)⋅dl=μ0∑I

令 H = B μ 0 − M H=\dfrac{B}{\mu_0}-M H=μ0B−M

乘H为磁场强度

则有磁介质中的安培环路定理 ∮ l H = μ 0 ∑ I \oint_l H=\mu_0 \sum I ∮lH=μ0∑I

磁场强度沿任意闭合回路的线积分，等于该回路包围的传导电流的代数和

根据磁场强度受到磁介质的磁导率影响 B = μ 0 μ r H B=\mu_0\mu_rH B=μ0μrH μ 0 μ r \mu_0\mu_r μ0μr为磁导率

μ r \mu_r μr为相对磁导率

则B与H有如下关系 B = μ H B=\mu H B=μH

恒磁场总结第5篇

磁场对载流导线的作用力称为安培力

电流元 I\vec{dl} 在磁场 \vec{B} 中的受到的磁力为 d\vec{F}

大小： \mathrm{d} F=I B \mathrm{~d} l \sin \varphi

方向： \mathrm{d} \overrightarrow{\boldsymbol{F}} 与 \boldsymbol{I} \mathbf{d} \vec{l} \times \vec{B} 同向

对于长为L 的载流导线所受到的安培力，则有：

\vec{F}=\int_{L} \mathbf{d} \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\int_{L} \boldsymbol{I} \mathbf{d} \overrightarrow{\boldsymbol{l}} \times \vec{B}

半圆在均匀磁场中所受的磁场力

大小： { d } F=B I \mathrm{~d} l \sin \frac{\pi}{2}

有对称性可知，其大小满足：

F_{x}=\mathbf{0} , { d } F_{y}=\mathrm{d} F \cos \theta

那么有：

\begin{aligned}F & =F_{y}=\int_{L} \mathrm{~d} F \cos \theta=\int I B \cos \theta \mathrm{d} l \\& =\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} I B R \cos \theta \mathrm{d} \theta=2 I B R\end{aligned}

那么我们可以得到结论：

半圆形导线上的磁场力等于A、B 间载有同样电流的直导线所受的力

并且我们可以做出推广：

与均匀磁场垂直的平面内任意形状的载流导线受的力：

F=IB\overline{CD} ，其 \overline{CD} 是初末位置连线，且受力方向沿着 \overline{CD} 垂线上

注意，该推论仅适用于均匀磁场

若为闭合电流，则受力为零

这和我们高中所学的有效长度也就相对应

其中 I_1 在 I_2 产生的 \vec{B_{21}} 的大小： B_{21}=\dfrac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi a}

那么电流元 I_2d\vec{l_2} 受力为：

\mathrm{d} F_{2}=B_{21} I_{2} \mathrm{~d} l_{2}=\dfrac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi a} \mathrm{~d} l_{2} 指向 I_1

同理可得：

\mathrm{d} F_{1}=B_{12} I_{1} \mathrm{~d} l_{1}=\dfrac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi a} \mathrm{~d} l_{1}

那么单位长度上的受力为：

f_{1}=f_{2}=\dfrac{\mathrm{d} F_{2}}{\mathrm{~d} l_{2}}=\dfrac{\mathrm{d} F_{1}}{\mathrm{~d} l_{1}}=\dfrac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi a}

注意：电流同向时，两电流互相吸引；反之亦然。

2.电流强度的单位——安培的定义

f=\dfrac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi a}

令 I_1=I_2,a=(m)

则 I=\sqrt{\dfrac{2 \pi f}{\mu_{0}}}=\sqrt{\dfrac{f}{2 \times 10^{-7}}}

安培的能量：真空中相距 1m 的两无限长平行载流直导线，当通以相同的电流 I ，单位长度上的作用力为 2\times 10^{-7}N 时，则所通电流规定为1A

1.磁力矩

ad 和 bc 边所受磁场力：

\begin{array}{l}F_{1}=\int_{0}^{l_{1}} I B \mathrm{~d} l \sin \left(90^{\circ}+\theta\right)=I B l_{1} \cos \theta \\F_{3}=\int_{0}^{l_{1}} I B \mathrm{~d} l \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=I B l_{1} \cos \theta\end{array}

可以看出 F_1 和 F_2 大小相等，方向相反

\vec{F}_{1}+\vec{F}_{3}=0 \quad \vec{M}_{\text {合 }}=0

ab 和 cd 的所受磁场力：

\begin{array}{l}F_{2}=\int_{0}^{l_{2}} I B \mathrm{~d} {l}=I B {l}_{2} \\F_{4}=\int_{0}^{l_{2}} I B \mathrm{~d} l=I B l_{2} \\\end{array}

我们可以发现其大小相等，方向反向且不共线

那么其磁场对线圈 abcd 产生的总的磁力矩为：

M=F_{2} l_{1} \sin \theta=I B l_{2} l_{1} \sin \theta=I S B \sin \theta

2.磁矩

线圈的磁矩： \overrightarrow{\boldsymbol{P}}_{m}=I S \hat{\boldsymbol{n}}

表示线圈性质的物理量，其方向与 \vec{n} 同向，符合右手螺旋定则

故可以将磁力矩改写为： \overrightarrow{\boldsymbol{M}}=\overrightarrow{\boldsymbol{p}}_{m} \times \vec{B}

可以证明：它适用于在均匀磁场中的任意形状的平面载流线圈